兩個正實數
和
的算術-幾何平均數定義如下:
首先計算
和
算術平均數(相加平均),稱其為
。然後計算
和
幾何平均數(相乘平均),稱其為
;這是
的算術平方根。
![{\displaystyle a_{1}={\frac {x+y}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458b8f69cff56057745abc71cb991111a27b94b4)
![{\displaystyle g_{1}={\sqrt {xy}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba329da6167662115f1e240a4f055ea25f169db2)
然後重複這個步驟,這樣便得到了兩個數列
和
:
![{\displaystyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+g_{n}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d583fc5c588280b1e2765c473d690249982405c1)
![{\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {a_{n}g_{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21f2e2eff086bca56662ba26de56d5706de47da2)
這兩個數列收斂於相同的數,這個數稱為
和
的算術-幾何平均數,記為
,或
。
欲計算
和
的算術-幾何平均數,首先算出它們的算術平均數和幾何平均數:
![{\displaystyle a_{1}={\frac {24+6}{2}}=15,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6620dee1ae6dc4661f5836827eb462760bd3493d)
![{\displaystyle g_{1}={\sqrt {24\times 6}}=\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/502b28f890041cdbaf6746c646dbb5a6838f9edd)
![{\displaystyle 12}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a522d3aa5812a136a69f06e1b909d809e849be39)
然後進行迭代:
![{\displaystyle a_{2}={\frac {15+12}{2}}=13.5,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb2413c556d4b3902580c80d48074ed20ead97b)
![{\displaystyle g_{2}={\sqrt {15\times 12}}=\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a29cc540de0258ec9893ec882867e3cb8443fde2)
etc.
繼續計算,可得出以下的值:
n
|
an
|
gn
|
0
|
24
|
6
|
1
|
15
|
12
|
2
|
13.5
|
13.416407864999...
|
3
|
13.458203932499...
|
13.458139030991...
|
4
|
13.458171481745...
|
13.458171481706...
|
24和6的算術-幾何平均數是兩個數列的公共極限,大約為13.45817148173。
是一個介於
和
的算術平均數和幾何平均數之間的數。
如果
,則
。
還可以寫為如下形式:
![{\displaystyle \mathrm {M} (x,y)={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {x+y}{K\left({\frac {x-y}{x+y}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bafea63677c7be9ebaf9b5785d1c28728f30e81)
其中
是第一類完全橢圓積分。
1和
的算術-幾何平均數的倒數,稱為高斯常數。
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {M} (1,{\sqrt {2}})}}=G=0.8346268\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59dded6d0b8d999bcc0f77861b905940da1ab4a3)
存在性的證明[編輯]
由算術幾何不等式可得
![{\displaystyle g_{n}\leqslant a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab89023714206cb87c3e1a875723fa462ba2f550)
因此
![{\displaystyle g_{n+1}={\sqrt {g_{n}\cdot a_{n}}}\geqslant {\sqrt {g_{n}\cdot g_{n}}}=g_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f8cbc5e8edb441f28596bcb49fc65e28c9d85a)
這意味著
是不降序列。同時,因為兩個數的幾何平均數是總是介於兩個數之間,又可以得到該序列是有上界的(
中的較大者)。根據單調收斂定理,存在
使得:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }g_{n}=g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e551985182096fbf26e11bbd5b4470d46097ea9)
然而,我們又有:
![{\displaystyle a_{n}={\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b06c0d436631ef3e7db26ed3edb58aa528d1e5d9)
從而:
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n+1}^{2}}{g_{n}}}={\frac {g^{2}}{g}}=g}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/775ad8f9435b9d8fa581ebbf8a3c69f0d999b770)
證畢。
關於積分表達式的證明[編輯]
該證明由高斯首次提出[1]。
令
![{\displaystyle I(x,y)=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {x^{2}\cos ^{2}\theta +y^{2}\sin ^{2}\theta }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4ff3c7ccbec2ced5d3d56a3620b9973dca1ff48)
將積分變量替換為
, 其中
![{\displaystyle \sin \theta ={\frac {2x\sin \theta '}{(x+y)+(x-y)\sin ^{2}\theta '}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a12a510a52c5ece7d7f42be9b1effd6253596fd5)
於是可得
![{\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta '}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y){\bigr )}^{2}\cos ^{2}\theta '+{\bigl (}{\sqrt {xy}}{\bigr )}^{2}\sin ^{2}\theta '}}}\\&=I{\bigl (}{\frac {1}{2}}(x+y),{\sqrt {xy}}{\bigr )}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/141606d3032cd0331907bb98f4356f398f909b56)
因此,我們有
![{\displaystyle {\begin{aligned}I(x,y)&=I(a_{1},g_{1})=I(a_{2},g_{2})=\cdots \\&=I{\bigl (}M(x,y),M(x,y){\bigr )}={\frac {\pi }{2M(x,y)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79447616185004b0b4dd5be53b56898fd0265356)
最後一個等式可由
推出。
於是我們便可得到算術幾何平均數的積分表達式:
![{\displaystyle M(x,y)={\frac {\pi }{2I(x,y)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2706c9f1ff7b7f430e8fcc106479992be0da20d7)
參考文獻[編輯]