主題:幾何學/特色條目

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特色條目列表

特色條目 1

Portal:幾何學/特色條目/1

畢氏定理（英語：Pythagorean theorem）又稱商高定理、畢達哥拉斯定理、勾股定理、百牛定理，是平面幾何中一個基本而重要的定理。畢氏定理說明，平面上的直角三角形的兩條直角邊的長度（古稱勾長、股長）的平方和等於斜邊長（古稱弦長）的平方。反之，若平面上三角形中兩邊長的平方和等於第三邊邊長的平方，則它是直角三角形（直角所對的邊是第三邊）。

畢氏定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一。

據《周髀算經》中記述，公元前一千多年周公與商高論數的對話中，商高就以三四五3個特定數為例詳細解釋了畢氏定理要素，其一，「以為句廣三，股修四，徑隅五」。其二，「既方其外，半之一矩，環而共盤，得成三四五。兩矩共長二十有五，是謂積矩。」首先肯定一個底寬為三，高為四的直角三角形，弦長必定是五。最重要的是緊接着論證了弦長平方必定是兩直角邊的平方和，確立了直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊平方的判定原則。其判定方法後世不明其法而被忽略。

此外，《周髀算經》中明確記載了周公後人陳子敘述的畢氏定理公式：「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之，得邪至日」。

趙爽在《周髀算經注》中將畢氏定理表述為「勾股各自乘，並之，為弦實。開方除之，即弦」。

古埃及在公元前2600年的紙莎草就有（3,4,5）這一組勾股數，而古巴比倫泥板涉及的最大的一個勾股數組是（18541，12709，13500）。

古希臘發現畢氏定理的是畢達哥拉斯，所以畢氏定理又稱畢達哥拉斯定理。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝（百牛大祭），因此又稱百牛定理。但這個說法顯然是以訛傳訛，眾所周知畢達哥拉斯主義者在古代以素食聞名。

有些參考資料提到法國和比利時將畢氏定理稱為驢橋定理，但驢橋定理就是等邊對等角，是指等腰三角形的二底角相等，非畢氏定理。

特色條目 2

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在幾何學中，正圖形又稱正多胞形（英語：Regular polytope），即正幾何圖形，是一種對稱性對於標記可遞的幾何體，且具有高度對稱性，對於該幾何體內所有同維度的元素(如:點、線、面)都完全具有相同的性質，並且每一個元素皆為一個正圖形，例如，正方體所有的面的面積及形狀皆相同，且皆為正方形，是一個二維正多胞形、所有邊的長度也相同，所有角的角度及形式也相同，因此正方體是一個正圖形或正多胞形。對於所有元素，或叫j維面(對所有的 0 ≤ j ≤ n，其中n是該幾何體所在的維度) — 胞、面等等 — 也都對於多胞形的對稱性可遞，也是≤ n維的正圖形。

正圖形是正多邊形（例如，正方形或者正五邊形)和正多面體（例如立方體）的向任意維度的推廣類比。正圖形極強的對稱性使它們擁有極強的審美價值，吸引着數學家和數學愛好者。

一般地，n維正圖形被定義為有正維面[(n − 1)-表面]和正頂點圖。這兩個條件已經能充分地保證所有面、所有頂點都是相似的。但要注意的是，這一定義並不適用於抽象多胞形。

一個正圖形能用形式為{a, b, c, ...., y, z}的施萊夫利符號代表，其正的面為{a, b, c, ..., y}，頂點圖為{b, c, ..., y, z}。

特色條目 3

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三角函數是數學中常見的一類關於角度的函數。三角函數將直角三角形的內角和它的兩個邊的比值相關聯，也可以等價地用與單位圓有關的各種線段的長度來定義。三角函數在研究三角形和圓等幾何形狀的性質時有重要作用，也是研究周期性現象的基礎數學工具。在數學分析中，三角函數也被定義為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們的取值擴展到任意實數值，甚至是複數值。

常見的三角函數包括正弦函數（$\sin$）、餘弦函數（$\cos$）和正切函數（$\tan$或者$\operatorname {tg}$）。在航海學、測繪學、工程學等其他學科中，還會用到如餘切函數、正割函數、餘割函數、正矢函數、半正矢函數等其他的三角函數。不同的三角函數之間的關係可以通過幾何直觀或者計算得出，稱為三角恆等式。

三角函數一般用於計算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導航、工程學以及物理學方面都有廣泛的用途。另外，以三角函數為模版，可以定義一類相似的函數，叫做雙曲函數。常見的雙曲函數也被稱為雙曲正弦函數、雙曲餘弦函數等等。

特色條目 4

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《幾何原本》（希臘語：Στοιχεῖα）是古希臘數學家歐幾里得在公元前3世紀在埃及所著的一部數學著作，共13卷。它包括一系列定義，假設（公理），命題（定理）及其證明。歐幾里得的書是在歐幾里德幾何的領域，以及古希臘版數論。《幾何原本》是幾何中最古老的公理演繹理論之一，已被證明在邏輯和現代科學的發展中起了重要作用。

它被認為是最成功的教科書之一：《幾何原本》是第一本要出版的書之一，並且僅次於《聖經》，出版的版本數量超過1000種。幾個世紀以來，當所有大學生的課程都被納入時，所有學生都要求至少部分歐幾里德幾何原本的知識。直到20世紀才被認為是所有受過教育的人都讀過的東西。 它仍然（雖然很少）用作今天的幾何學基本介紹。

這本著作是在四庫全書中為子部天文演算法算書類。

特色條目 5

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正多面體，或稱柏拉圖立體， 指各面都是全等的正多邊形且每一個頂點所接的面數都是一樣的凸多面體。這些是凸規則正多邊形的三維類似物。正好有五個這樣的數字（如右圖所示）。每個數字的名稱來自其面數：分別為4,6,8,12和20.它們的獨特之處在於側面，邊緣和角度都是全等的。

由於它們的審美美感和對稱性，柏拉圖立體已成為幾千年來幾何學家們的一個最喜歡的主題。他們以古希臘哲學家柏拉圖命名，聲稱古典元素是從正多面體構建的。

正多面體的別稱柏拉圖立體是因柏拉圖而命名的。柏拉圖的朋友泰阿泰德告訴柏拉圖這些立體，柏拉圖便將這些立體寫在《蒂邁歐篇》(Timaeus) 內。正多面體的作法收錄《幾何原本》的第13卷。在命題13描述正四面體的作法；命題14為正八面體作法；命題15為立方體作法；命題16則是正二十面體作法；命題17則是正十二面體作法。

特色條目 6

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仿射聯絡是微分幾何中定義在流形上的幾何概念，連接了鄰近幾點上的切空間，使得在流形上的切向量場可以求導。仿射聯絡的概念起源於19世紀的幾何學和張量微積分，但那時並沒有被完備的定義出來。直到1920年，（用於嘉當聯絡（Cartan connection）理論）及Hermann Weyl（做為廣義相對論的基礎理論）。這專門術語是沿用嘉當(Cartan)所使用的術語及根據從歐幾里德空間Rⁿ中切空間的推廣。換句話說，仿射聯絡的概念是為了推廣歐幾里德空間，使得流形上每點都有一個光滑的（可無限求導）仿射空間。

任何維數為正數的流形都會有無窮個仿射聯絡。仿射聯絡能用來決定在向量場上求導，並滿足線性及萊布尼茲法則的方法，這表明了仿射聯絡有幾個可行的方法，像是協變導數或在向量叢上的聯絡。仿射聯絡也能用來決定在切向量沿着一條曲線平行移動的方式，或者用來決定標架叢的平行移動。仿射聯絡也可以用來決定流形上的測地線，推廣了歐幾里德空間中直線的概念。

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