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安培定律

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安培定律英語Ampère's circuital law),又稱安培環路定律,是由安德烈-瑪麗·安培於1826年提出的一條靜磁學基本定律。安培定律表明,載流導線所載有的電流,與磁場沿著環繞導線的閉合迴路的路徑積分,兩者之間的關係為

\oint_\mathbb{C}  \mathbf{B} \cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_0 I_{enc}

其中,\mathbb{C} 是環繞著導線的閉合迴路,\mathbf{B}磁場(又稱為B場),d\boldsymbol{\ell} 是微小線元素向量,\mu_0磁常數I_{enc} 是閉合迴路\mathbb{C} 所圍住的電流。

1861年,詹姆斯·馬克士威又將這方程式重新推導一遍,使得符合電動力學條件,並且發表結果於論文《論物理力線》內。馬克士威認為,含時電場會生成磁場,假若電場含時間,則前述安培定律方程式不成立,必須加以修正。經過修正後,新的方程式稱為馬克士威-安培方程式,是馬克士威方程組中的一個方程式,以積分形式表示為

\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot d\boldsymbol{\ell} = \mu_0 \int_\mathbb{S} \left(\mathbf{J} + \frac{\partial\mathbf{D}}{\partial t}\right) \cdot d\mathbf{a}

其中,\mathbb{S} 是邊緣為 \mathbb{C} 的任意曲面,\mathbf{J} 是穿過曲面 \mathbb{S} 的電流的電流密度\mathbf{ D }電位移d\mathbf{a} 是微小面元素向量。

右手定則[編輯]

載流迴圈所產生的磁場方向可以使用右手定則來判斷。其方法為將拇指外的四根手指向手掌彎的方向視為電流方向,則拇指所指的方向即為磁場的方向。

安培右手定則:將右手的大拇指指向電流 I 方向,再將四根手指握緊電線,則彎曲的方向決定磁場 \mathbf{B} 的方向

右手定則也可以用來辨明一條電線四周磁場的方向。對於這用法,右手定則稱為「安培右手定則」,或「安培定則」。如右圖,安培右手定則表明,假若將右手的大拇指朝著電線的電流方向指去,再將四根手指握緊電線, 則四根手指彎曲的方向為磁場的方向。

原版安培定律[編輯]

一條載流導線所載有的電流會產生磁場。

安培定律的歷史原版形式,連結了磁場與源電流。這定律可以寫成兩種形式,積分形式和微分形式。根據克耳文-斯托克斯定理(卽 ℝ³ 上的斯托克斯公式),對於任意向量 \mathbf{F}

\int_\mathbb{S} \nabla\times \mathbf{F}\cdot d\mathbf{a}=\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}

所以,這兩種形式是等價的。

積分形式[編輯]

電流 I 在一個曲面 \mathbb{S} 上的通量,等於B場 \mathbf{B} 沿著 \mathbb{S} 的邊緣閉合迴路 \mathbb{C} 的路徑積分。 採用國際單位制(後面會講述CGS單位制版本),原版安培定律的積分形式可以寫為[1]

\oint_{\mathbb{C}} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \mu_0 I

請注意到這方程式有些模糊之處,需要特別澄清:

  • 第一,邊界曲線 \mathbb{C} 的正向與曲面 \mathbb{S} 的側符合右手規則。[注 1]
  • 第二,(固定 \mathbb{C} ,)定理之成立與以 \mathbb{C} 為邊界的 \mathbb{S} 的選擇無關。[注 2]

安培定律可由必歐-沙伐定律和磁場的疊加性證明(請參閱必歐-沙伐定律)。在靜磁學中,安培定律的角色與高斯定律靜電學的角色類似。當系統組態具有適當的對稱性時,我們可以利用這對稱性,使用安培定律來便利地計算磁場。例如,當計算一條直線的載流導線或一個無限長螺線管的磁場時,可以採用圓柱坐標系來匹配系統的圓柱對稱性。

微分形式[編輯]

根據克耳文-斯托克斯定理,這方程式也可以寫為微分形式。只有當電場不含時間的時候,也就是說,當電場對於時間的偏微分等於零的時候,這方程式才成立。採用國際單位制,這方程式表示為

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }

磁場 \mathbf{B} 的旋度等於(產生該磁場的)傳導電流密度 \mathbf{J}

電流分類[編輯]

電流可以細分為自由電流和束縛電流,而束縛電流又可分類為磁化電流和電極化電流。以方程式表示,總電流密度 \mathbf{J}

\mathbf{J} =\mathbf{J_f +J_M +J_P}

其中,\mathbf{J}_ f 是自由電流密度或傳導電流密度,\mathbf{J}_M 是磁化電流密度,\mathbf{J}_ P 是電極化電流密度。

從微觀而言,所有的電流基本上是一樣的。但是,由於實用原因,物理學家會將電流分類為自由電流和束縛電流,對於每一類電流有不同的處理方式。例如,束縛電流通常發生於原子尺寸。物理學家或許想要使用較簡單但適用於較大尺寸狀況的理論。因此,較微觀的安培定律,以B場 \mathbf{B} 和微觀電流(包括自由電流和束縛電流)來表達的定律,有時候會被替代為等價的形式,以附屬磁場(又稱為H場)\mathbf{H} 和自由電流來表達的形式。後面證明段落,會有詳細的關於自由電流和束縛電流的定義,與兩種表述等價的證明。

自由電流[編輯]

通常在教科書內所提及的單獨的「電流」二字,都是指的自由電流,即自由載流子(電子及陰陽離子)的定向移動。例如,通過一條導線或一個電池的電流。自由電流與後面提到的束縛電流明顯不同,後者出現於可以被磁化電極化的宏觀物質裏(每一種物質都會或多或少地被電極化或磁化)。

磁化電流[編輯]

當一個物質被磁化的時候(例如,將此物質置入外磁場),電子仍舊會束縛於它們所屬的原子。但是,它們的物理行為會有所改變(會與感受到的磁場耦合),產生微觀電流。將這些電流總合在一起,會有如同巨觀電流一般的效應,環繞於磁化物體內部或表面。稱這電流為磁化電流,是束縛電流的一部分。稱磁化電流的密度為「體磁化電流密度」 \mathbf{J}_M ,用方程式定義為

\mathbf{J}_M\ \stackrel{def}{=}\ \nabla\times\mathbf{M}

其中,\mathbf{M}磁化強度(單位體積的磁偶極矩)。

電極化電流[編輯]

束縛電流的另外一種來源是電極化電流。感受到電場的作用,可電極化物質內的正束縛電荷和負束縛電荷會以原子距離相互分離。假設電場隨著時間而變化,束縛電荷也會隨著時間而移動,因而產生「電極化電流」,稱其密度為「電極化電流密度」 \mathbf{J}_P ,用方程式定義為

\mathbf{J}_P\ \stackrel{def}{=}\ \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}

其中,\mathbf{P}電極化強度

注意到電極化強度的定義式

\nabla\cdot\mathbf{P}\ \stackrel{def}{=}\  - \rho_b

其中,\rho_b 是「體束縛電荷密度」。

取電極化電流密度的散度

\nabla\cdot\mathbf{J}_P=\frac{\partial}{\partial t} (\nabla\cdot\mathbf{P})

所以,電極化電流密度與體束縛電荷密度的關係為

\nabla\cdot\mathbf{J}_P= - \frac{\partial\rho_b}{\partial t}

原版安培定律的不足處[編輯]

原版安培定律只適用於靜磁學。在電動力學裏,當物理量含時間,有些細節必須仔細檢查。思考安培方程式,

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }

其中,\mathbf{B} 是B場,\mu_0磁常數\mathbf{J } 是總電流。

散度於這方程式,則會得到

\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) = \mu_0 \nabla\cdot\mathbf{J }

應用一個向量恆等式旋度的散度必定等於零。所以,

\nabla\cdot(\nabla \times \mathbf{B}) =0

這意味著電流密度的散度等於零:

\nabla\cdot\mathbf{J }=0

靜磁學內,這是正確的。但是,出了靜磁學範圍,當電流不穩定的時候,這就不一定正確了。

一個正在充電的電容器,左邊的圓形金屬板,被一個假想的封閉圓柱表面 \mathbb{S} 包圍。這圓柱表面的右邊表面 \mathbb{R} 處於電容器的兩塊圓形金屬板之間,左邊表面 \mathbb{L} 處於最左邊。沒有任何傳導電流通過表面 \mathbb{R} ,而有電流 I 通過表面 \mathbb{L}

舉個經典例子,如圖右,一個正在充電的電容器,其兩片金屬板會隨著時間分別累積異性電荷。設定表面 \mathbb{L} 的邊緣為閉合迴路 \mathbb{C} 。應用安培定律,

\oint_\mathbb{C}  \mathbf{B} \cdot d\boldsymbol{\ell} =\mu_0 I_{enc}

在這裡,I_{enc} 是通過任意曲面的電流,只要這曲面符合一個條件:邊緣為閉合迴路 \mathbb{C} 。所以,這任意曲面可以是表面 \mathbb{L} ,而I_{enc}I ;或者這任意曲面可以是封閉圓柱表面減去左邊表面 \mathbb{S} - \mathbb{L} ,而由於通過這任意曲面的電流是 0I_{enc}0 。選擇不同的曲面會得到不同的答案,這在物理學裡,是絕對不允許發生的事。

為了解決上述難題,安培定律必須加以修改延伸。應用流體力學的方法,馬克士威摹想磁場為電介質渦旋vortex)大海,而位移電流即為大海內的電極化電流[2]。在他於1861年發表的論文《論物理力線》裡面,馬克士威將位移電流項目加入了安培定律 [3]

位移電流[編輯]

自由空間內,位移電流跟電場隨著時間的變化率有關;而在電介質內,上述貢獻仍舊存在,但另外一個重要貢獻則與電介質的電極化有關。雖然電荷不能自由地運動於電介質,感受到外電場的作用,分子的束縛電荷可以做微小的運動。因此,正值和負值的束縛電荷會產生小距離的分離,造成電極化的增加,這可以用變量電極化強度 P 來表達。電極化強度隨著時間的變化所產生的效應就是電極化電流。

位移電流密度 \mathbf{J}_D 定義為[1]

\mathbf{J}_D\ \stackrel{def}{=}\ \frac {\partial\mathbf{D}}{\partial t}

其中,\mathbf{D} 電位移,定義為

 \mathbf{D}\ \stackrel{def}{=}\ \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}

其中,\varepsilon_0電常數 \mathbf{P} 是電極化強度。

所以,位移電流密度分為兩個部分:

 \mathbf{J}_D = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}

這方程式右手邊的第一個項目是馬克士威修正項目,在任何地方都可存在,甚至在真空也可以存在。馬克士威修正項目並不涉及任何真實的電荷運動,但是,它描述一個含時電場的物理行為,就好像是真實的電流。第二個項目是電極化電流密度,與電介質內單獨分子的極化性有關。

原本定律的延伸:馬克士威-安培方程式[編輯]

將馬克士威修正項目加入安培方程式:

\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J }+ \mu_0\varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}  ;

或者,使用H場 \mathbf{H} 和位移電流 \mathbf{D} 來表達,

\nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{J }_f+ \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}

這就是馬克士威-安培方程式,可以補救原本安培定律的限制。

假若使用B場 \mathbf{B} 的馬克士威-安培方程式,由於習慣,時常會稱 \varepsilon_0\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} 項目為位移電流密度。由於增添了位移電流,馬克士威能夠推論(正確地)光波是一種電磁波(請參閱電磁波條目)。

等價證明[編輯]

CGS單位制的安培方程式[編輯]

採用CGS單位制,安培方程式的積分形式,包括馬克士威修正項目,可以寫為

\oint_\mathbb{C} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} = \frac{1}{c} \int_S \left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}

其中,c光速

其微分形式可以寫為

\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \frac{1}{c}\left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right)

參見[編輯]

註釋[編輯]

  1. ^ 沿著閉合迴路 \mathbb{C} 線積分的方向有兩種(順時針方向逆時針方向)。還有,I \!\ 是通過邊緣為閉合迴路 \mathbb{C} 的曲面 \mathbb{S} 的淨自由電流,包括以某方向通過的電流,減去以相反方向通過的電流。但是,兩種方向中,任何一種都可以選為正值。為了澄清這些模糊之處,必須使用右手定則:當右手食指朝著線積分方向指去時,伸直的大拇指會指向微小面元素向量,設定朝著這方向流動的電流為正值。
  2. ^ 通過邊緣為閉合迴路 \mathbb{C} 的曲面有無限多選擇(設想在一個閉合鐵環上懸跨著一個肥皂泡,假若輕輕地往這個肥皂泡吹一口氣,則泡沫的形狀會變形)。不過選擇哪一曲面都無所謂,因為任何邊緣為 \mathbb{C} 的曲面皆可被證明為正確的選擇。

參考文獻[編輯]

  1. ^ 1.0 1.1 David J Griffiths. Introduction to Electrodynamics 3rd Edition. Pearson/Addison-Wesley. 1999: 225, 321-325. ISBN 013805326X. 
  2. ^ Daniel M. Siegel. Innovation in Maxwell's Electromagnetic Theory: Molecular Vortices, Displacement Current, and Light. Cambridge University Press. 2003: 96-98. ISBN 0521533295. 
  3. ^ James C. Maxweel. On Physical Lines of Force. Philosophical Magazine and Journal of Science. 1961. 

外部連結[編輯]