連續函數演算

在數學中，特別是在算子理論和C*-代數理論中，連續函數演算是一種允許將連續函數作用於C*-代數中的正規元的函數演算。

在進階的理論中，這種函數演算的應用非常自然，以至於往往它甚至不會被提及。毫不誇張地說，連續函數演算將C*-代數與更一般的巴拿赫代數區分了開來，對於後者只能定義全純函數演算。

動機

對於巴拿赫代數 ${\mathcal {A}}$ 中的成員 $a$ ，若要將其譜 $\sigma (a)$ 上的多項式函數演算推廣到譜上的連續函數，似乎有一個明顯的思路：依照魏爾施特拉斯逼近定理用多項式來逼近連續函數，然後將多項式中的數換成 ${\mathcal {A}}$ 中成員 $a$ ，再證明這些 $a$ 的多項式序列收斂為 ${\mathcal {A}}$ 中元素。

譜集 $\sigma (a)\subset \mathbb {C}$ 上的連續函數由 $z$ 和 ${\overline {z}}$ 的形如 $p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)$ 的多項式來逼近，其中 ${\overline {z}}$ 表示 $z$ 的復共軛，而復共軛是複數上的一個對合。在將 $z$ 替換為 $a$ 時，為使 ${\overline {z}}$ 也有對應，須考慮 ${\mathcal {A}}$ 為巴拿赫*-代數，即配備了一個對合運算 $*$ 的巴拿赫代數，這時 ${\overline {z}}$ 就被替換為 $a^{*}$ 。由於多項式環 $\mathbb {C} [z,{\overline {z}}]$ 是交換環，為得到一個 ${\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]\rightarrow {\mathcal {A}}$ 的代數同態，須限制在 ${\mathcal {A}}$ 中的正規元（即滿足 $a^{*}a=aa^{*}$ 的成員）上。

須保證：若多項式序列 $(p_{n}(z,{\overline {z}}))_{n}$ 在 $\sigma (a)$ 上一致收斂於一連續函數 $f$ ，則 ${\mathcal {A}}$ 上的序列 $(p_{n}(a,a^{*}))_{n}$ 收斂於 $f(a)\in {\mathcal {A}}$ 。對這個收斂性的問題進行細緻分析之後，就會發現有必要採用C*-代數。這些考量最終將導向所謂的連續函數演算。

定義

連續函數演算 — 設有單位元 $e$ 的C*-代數 ${\mathcal {A}}$ 中有一正規元 $a$ ，而 ${\mathcal {C}}(\sigma (a))$ 是 $a$ 譜集 $\sigma (a)$ 上的連續函數所構成的交換C*-代數。於是存在唯一一個*-同態 $\Phi _{a}\colon {\mathcal {C}}(\sigma (a))\rightarrow {\mathcal {A}}$ 滿足 $\Phi _{a}({\boldsymbol {1}})=e$ 和 $\Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})=a$ ，其中常值函數 ${\boldsymbol {1}}$ 滿足 ${\boldsymbol {1}}(z)=1$ ， $\operatorname {Id}$ 是恆等映射。

該*-同態 $\Phi _{a}$ 稱為正規元 $a$ 的連續函數演算，通常也記作 $f(a):=\Phi _{a}(f)$。

由於*-同態性質，有以下對任意函數 $f,g\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$ 與純量 $\lambda ,\mu \in \mathbb {C}$ 有效的計算規則：

$(\lambda f+\mu g)(a)=\lambda f(a)+\mu g(a)\qquad$	（線性）
$(f\cdot g)(a)=f(a)\cdot g(a)$	（乘法）
${\overline {f}}(a)=\colon \;(f^{*})(a)=(f(a))^{*}$	（對合）

因此，可以同尋常連續函數那樣看待連續函數在正規元上的推廣，它的上述代數運算性質同尋常的連續複函數情況沒有區別。

對於單位元的要求並不是一個強的限制。如果需要，可以添加一個單位元，得到一個擴大了的C*-代數 ${\mathcal {A}}_{1}$ 。對於 $a\in {\mathcal {A}}$ 和滿足 $f(0)=0$ 的 $f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$ ，有 $0\in \sigma (a)$ 和 $f(a)\in {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {A}}_{1}$ 。

下面給出連續函數演算的存在性和唯一性的證明概要：

連續函數演算的存在性的證明

設 $C^{*}(a,e)$ 是 $a$ 和 $e$ 所生成的C*-子代數， $a$ 在 $C^{*}(a,e)$ 中的譜和在 ${\mathcal {A}}$ 中時是一樣的，於是證明了 ${\mathcal {A}}=C^{*}(a,e)$ 。 實際的構造幾乎直接可從蓋爾范德表示中得出：只需設 ${\mathcal {A}}$ 是某個緊空間 $X$ 上的連續函數所構成的C*-代數並定義 $\Phi _{a}(f)=f\circ x$ 。

連續函數演算的唯一性的證明

考慮到 $\Phi _{a}({\boldsymbol {1}})$ 和 $\Phi _{a}(\operatorname {Id} _{\sigma (a)})$ 已被固定，由於要求 $\Phi _{a}$ 為*-同態，它對於所有的多項式 ${\textstyle p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}\;\left(c_{k,l}\in \mathbb {C} \right)}$ 來說已經唯一定義。根據魏爾施特拉斯逼近定理，它們構成了 ${\mathcal {C}}(\sigma (a))$ 的一個稠密子代數。因此 $\Phi _{a}$ 是唯一的。

在泛函分析中，常對正規算子 $T$ 的連續函數演算感興趣，即 ${\mathcal {A}}$ 是希爾伯特空間 $H$ 上的有界算子所構成的C*-代數 ${\mathcal {B}}(H)$ 的情況。在文獻中，通常僅對此情況的自伴算子的連續函數演算作了證明。在這種情況下，證明不需要用到蓋爾范德表示。

性質

到子代數的等距同構

連續函數演算 $\Phi _{a}$ 是到 $a$ 和 $e$ 所生成的C*-子代數 $C^{*}(a,e)$ 的等距同構，即：

• $$\forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad \left\|\Phi _{a}(f)\right\|=\left\|f\right\|_{\sigma (a)}.$$於是 $\Phi _{a}$顯然是連續的。
• $$\Phi _{a}\left({\mathcal {C}}(\sigma (a))\right)=C^{*}(a,e)\subseteq {\mathcal {A}},$$ 也就是說 $C^{*}(a,e)$ 是連續函數演算的值域。

由於 $a$ 是 ${\mathcal {A}}$ 中的正規元，由 $a$ 和 $e$ 生成的C*-子代數是一個交換代數。特別地， $f(a)$ 也是一個正規元，且函數演算的所有成員間都對易。

與其他函數演算的關係

全純函數演算可無歧義地擴張為連續函數演算。因此，連續函數演算在多項式 $p(z,{\overline {z}})$ 上重合於多項式函數演算： $$\forall c_{k,l}\in \mathbb {C} ,\quad \Phi _{a}(p(z,{\overline {z}}))=p(a,a^{*})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}a^{k}(a^{*})^{l},$$ 其中 $p(z,{\overline {z}})=\sum _{k,l=0}^{N}c_{k,l}z^{k}{\overline {z}}^{l}$ 。

對於 $\sigma (a)$ 上一致收斂於函數 $f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$ 的函數序列 $f_{n}\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$ ， $f_{n}(a)$ 收斂於 $f(a)$ 。對於 $\sigma (a)$ 上絕對且一致地收斂的冪級數 ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n}}$ ，就有 ${\textstyle f(a)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}a^{n}}$ 。

反函數的連續函數演算

若有 $f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$ 和 $g\in {\mathcal {C}}(\sigma (f(a)))$ ，那麼它們的函數演算的複合滿足 $(g\circ f)(a)=g(f(a))$ 。

設有兩個正規元 $a,b\in {\mathcal {A}}_{N}$ 滿足 $f(a)=f(b)$ ，且無論限制在 $\sigma (a)$ 還是 $\sigma (b)$ 上時 $g$ 都是 $f$ 的反函數，那麼必然有 $a=b$ ，因為 $a=(f\circ g)(a)=f(g(a))=f(g(b))=(f\circ g)(b)=b$ 。

譜映射定理

譜映射定理 $$\forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad \sigma (f(a))=f(\sigma (a))$$ 也成立。

對於 $b\in {\mathcal {A}}$ ，若有 $ab=ba$ ，那麼也有 $$\forall f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a)),\quad f(a)b=bf(a).$$ 也就是說若 $b$ 與 $a$ 對易，則它也與 $a$ 的在連續函數下的像 $f(a)$ 對易。

與*-同態相容

設 $\Psi \colon {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}$ 是C*-代數 ${\mathcal {A}}$ 和 ${\mathcal {B}}$ 間的保單位元的*-同態，那麼 $\Psi$ 與連續函數演算間的複合是對易的。也就是說： $$\forall f\in C(\sigma (a)),\quad \Psi (f(a))=f(\Psi (a)).$$ 特別地，連續函數演算與蓋爾范德表示是對易的。

函數性質與像的性質間的關係

利用譜映射定理，具有某些性質的函數可以直接關聯到C*-代數成員的某些性質：

• $f(a)$ 是可逆元若且唯若 $f$ 在 $\sigma (a)$ 上沒有零點。於是有 ${\textstyle f(a)^{-1}={\tfrac {1}{f}}(a)}$ 。

• $f(a)$ 是自伴元若且唯若 $f$ 是實值函數，也就是$\sigma (a)\subseteq \{0,1\}$說 $f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {R}$.
• $f(a)$ 是正元（ $f(a)\geq 0$ ）若且唯若 $f\geq 0$ ，也就是說 $f(\sigma (a))\subseteq [0,\infty )$.
• $f(a)$ 是么正元，若 $f$ 的值落在復單位圓中。也就是說， $f(\sigma (a))\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}.$
• $f(a)$ 是一個投影，若 $f$ 僅取值 $0$ 或 $1$ ，也就是說 $f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}$.

這些斷言的基礎是關於特定元素的譜的結論，這些結論會在§ 應用一節中展示。

有界算子代數的譜

在 ${\mathcal {A}}$ 是希爾伯特空間 $H$ 上的有界算子所構C*-代數 ${\mathcal {B}}(H)$ 的特殊情況下，正規算子 $T\in {\mathcal {B}}(H)$ 的對應特徵值 $\lambda \in \sigma (T)$ 的特徵向量 $v\in H$ 也將是算子 $f(T)$ 關於特徵值 $f(\lambda )\in \sigma (f(T))$ 的特徵向量。設 $Tv=\lambda v$ ， 則 $\forall f\in \sigma (T),\quad f(T)v=f(\lambda )v$ 。

應用

下面給出連續函數演算的眾多應用中一些典型且非常簡單的例子。

譜

設 ${\mathcal {A}}$ 是一個C*-代數而 $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ 為其中一個正規元，則對於譜 $\sigma (a)$ 有以下結論：

• $a$ 是自伴元若且唯若 $\sigma (a)\subseteq \mathbb {R} .$
• $a$ 是么正元若且唯若 $\sigma (a)\subseteq \mathbb {T} =\{\lambda \in \mathbb {C} \mid \left\|\lambda \right\|=1\}.$
• $a$ 是一個投影若且唯若 $\sigma (a)\subseteq \{0,1\}$.

證明

正規元 $a\in {\mathcal {A}}$ 的連續函數演算 $\Phi _{a}$ 是一個保單位元的*-同態，因此若 $\operatorname {Id} \in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$ 是自伴的/么正的/投影，則 $a$ 也相應地成為自伴元/么正元/投影。

1. $\operatorname {Id}$ 自伴的充要條件是 $$\forall z\in \sigma (a),\quad z={\text{Id}}(z)={\overline {\text{Id}}}(z)={\overline {z}},$$ 即 $\sigma (a)$ 是實的。
2. ${\text{Id}}$ 么正的充要條件是 $$\forall z\in \sigma (a),\quad 1={\text{Id}}(z){\overline {\operatorname {Id} }}(z)=z{\overline {z}}=|z|^{2},$$ 即 $\sigma (a)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} \ |\ \left\|\lambda \right\|=1\}$ 。
3. ${\text{Id}}$ 成為投影的充要條件是 $$(\operatorname {Id} (z))^{2}=\operatorname {Id} }(z)={\overline {\operatorname {Id} (z),}$$ 即 $$\forall z\in \sigma (a),\quad z^{2}=z={\overline {z}},$$ 或者說 $\sigma (a)\subseteq \{0,1\}$ 。

開方

設 $a$ 是 C*-代數 ${\mathcal {A}}$ 中的正元，那麼對於每一個 $n\in \mathbb {N}$ 存在一個唯一確定的正元 $b\in {\mathcal {A}}_{+}$ 滿足 $b^{n}=a$ ，即唯一的 $n$ 次方根。

證明

對於每個 $n\in \mathbb {N}$ ，開方函數 $$f_{n}\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} _{0}^{+}\colon x\mapsto {\sqrt[{n}]{x}}$$ 是 $\sigma (a)\subseteq \mathbb {R} _{0}^{+}$ 上的連續函數。若通過連續函數演算來定義 $b\;\colon =f_{n}(a)$ ，那麼根據連續函數演算的性質有 $$b^{n}=(f_{n}(a))^{n}=(f_{n}^{n})(a)=\operatorname {Id} _{\sigma (a)}(a)=a.$$

根據譜映射定理可知 $$\sigma (b)=\sigma (f_{n}(a))=f_{n}(\sigma (a))\subseteq [0,\infty ),$$ 也就是說 $b$ 是正元。

設有另一正元 $c\in {\mathcal {A}}_{+}$ 滿足 $c^{n}=a=b^{n}$ ，則有 $c=f_{n}(c^{n})=f_{n}(b^{n})=b$ ，因為正實數上的開方函數是函數 $z\mapsto z^{n}$ 的反函數。

若 $a\in {\mathcal {A}}_{sa}$ 是自伴元，則至少有：對於每個奇數 $n\in \mathbb {N}$ ，存在唯一確定的自伴元 $b\in {\mathcal {A}}_{sa}$ 滿足 $b^{n}=a$ 。

類似地，對於C*-代數 ${\mathcal {A}}$ 中正元 $a$ 和任意 $\alpha \geq 0$ ， $a^{\alpha }$ 唯一定義了一個 $C^{*}(a)$ 中的正元，並滿足 $$\forall \alpha ,\beta \geq 0,\quad a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }.$$ 若 $a$ 是可逆元，則還可以推廣到取負值的 $\alpha$ 。

絕對值

若 $a\in {\mathcal {A}}$ 且 $a^{*}a$ 是正元，那麼絕對值可由連續函數演算定義為 $|a|={\sqrt {a^{*}a}}$ ，因為它在正實數上連續。

設 $a$ 是C*-代數 ${\mathcal {A}}$ 中的自伴元，則存在正元 $a_{+},a_{-}\in {\mathcal {A}}_{+}$ ，使得 $a=a_{+}-a_{-}$ 和 $a_{+}a_{-}=a_{-}a_{+}=0$ 成立。 $a_{+}$ 和 $a_{-}$ 也被稱為正部和負部。此外還有 $|a|=a_{+}+a_{-}$ 。

證明

函數 $f_{+}(z)=\max(z,0)$ 和 $f_{-}(z)=-\min(z,0)$ 是 $\sigma (a)\subseteq \mathbb {R}$ 上的連續函數且滿足

• $\operatorname {Id} (z)=z=f_{+}(z)-f_{-}(z),$
• $f_{+}(z)f_{-}(z)=f_{-}(z)f_{+}(z)=0.$

設 $a_{+}=f_{+}(a),a_{-}=f_{-}(a)$ ，由譜映射定理可知 $a_{+}$ 和 $a_{-}$ 是正元，且有：

• $a=\operatorname {Id} (a)=(f_{+}-f_{-})(a)=f_{+}(a)-f_{-}(a)=a_{+}-a_{-},$
• $a_{+}a_{-}=f_{+}(a)f_{-}(a)=(f_{+}f_{-})(a)=0=(f_{-}f_{+})(a)=f_{-}(a)f_{+}(a)=a_{-}a_{+}.$

此外， $$f_{+}(z)+f_{-}(z)=|z|={\sqrt {z^{*}z}}={\sqrt {z^{2}}},$$ 故 $$a_{+}+a_{-}=f_{+}(a)+f_{-}(a)=|a|={\sqrt {a^{*}a}}={\sqrt {a^{2}}}.$$

么正元

若 $a$ 是有單位元 $e$ 的C*-代數 ${\mathcal {A}}$ 中的自伴元，那麼 $u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}$ 是么正元，其中 $\mathrm {i}$ 表示虛數單位。反過來，若 $u\in {\mathcal {A}}_{U}$ 是一個么正元且其譜是復單位圓的真子集（即 $\sigma (u)\subsetneq \mathbb {T}$ ），那麼存在一個自伴元 $a\in {\mathcal {A}}_{sa}$ 滿足 $u=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} a}$ 。

證明

定義函數 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}$ ，由於 $a$ 的自伴性使得 $\sigma (a)\subset \mathbb {R}$ ，那麼 $f$ 在 $a$ 的譜上有定義。取 $u=f(a)$ ，由於 $f\cdot {\overline {f}}={\overline {f}}\cdot f=1$ ，根據函數演算性質可知 $uu^{*}=u^{*}u=e$ ，也就是說 $u$ 是么正元。

對於第二個命題，現在將 $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto \mathrm {e} ^{\mathrm {i} x}$ 限制到區間 $[z_{0},z_{0}+2\pi )$ 上（其中 $z_{0}\in \mathbb {R}$ ），從而可以定義其反函數 $g:\mathbb {T} \to [z_{0},z_{0}+2\pi ):\ g(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} x})=x$ ，且 $g$ 在譜集 $\sigma (u)$ 上有定義，且是其上的實值連續函數。那麼它的連續函數函數演算就會將 $u$ 映為自伴元 $a=g(u)$ 。

譜分解定理

設 ${\mathcal {A}}$ 是一個有單位元的C*-代數，其中有一個正規元 $a\in {\mathcal {A}}_{N}$ 。假設譜由 $n$ 個兩兩不相交的閉子集 $\sigma _{k}\subset \mathbb {C} ,\ (1\leq k\leq n)$ 構成，也就是說 $\sigma (a)=\sigma _{1}\sqcup \cdots \sqcup \sigma _{n}$ 。那麼就存在投影 $p_{1},\ldots ,p_{n}\in {\mathcal {A}}$ ，使得下面的命題對任意 $j\geq 1,k\leq n$ 都成立：

1. 投影的譜滿足 $\sigma (p_{k})=\sigma _{k}.$
2. 投影與 $a$ 對易，即 $p_{k}a=ap_{k}.$
3. 投影是正交的，即 $p_{j}p_{k}=\delta _{jk}p_{k}.$
4. 投影之和為單位元，即 $\sum _{k=1}^{n}p_{k}=e.$

特別是，有分解 ${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$ ，其中 $\forall 1\leq k\leq n,\sigma (a_{k})=\sigma _{k}.$

證明

由於 $\sigma _{k}$ 是閉的，故其指示函數 $\chi _{\sigma _{k}}$ 在 $\sigma (a)$ 上連續，可以定義其連續函數演算。

令 $p_{k}:=\chi _{\sigma _{k}}(a)$ 。 由於 $\sigma _{k}$ 兩兩不交，有

• $\chi _{\sigma _{j}}\chi _{\sigma _{k}}=\delta _{jk}\chi _{\sigma _{k}},$
• $\sum _{k=1}^{n}\chi _{\sigma _{k}}=\chi _{\cup _{k=1}^{n}\sigma _{k}}=\chi _{\sigma (a)}={\textbf {1}},$

從而由指示函數的連續函數演算所得的 $p_{k}$ 滿足性質3、4。

性質2則可由 $$a_{k}=ap_{k}=\operatorname {Id} (a)\cdot \chi _{\sigma _{k}}(a)=(\operatorname {Id} \cdot \chi _{\sigma _{k}})(a)$$ 證明。

參考資料

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外部連結

• Continuous functional calculus - PlanetMath