柯西分布

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**柯西-勞侖茲分布**
機率密度函數綠線是標準柯西分布
累積分布函數與上圖中的顏色對應
母數	$x_{0}\!$ 位置母數（實數） $\gamma >0\!$ 尺度母數（實數）
值域	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
機率密度函數	${\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!$
累積分布函數	${\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}$
期望值	（沒有定義）
中位數	$x_{0}$
眾數	$x_{0}$
變異數	（沒有定義）
偏度	（沒有定義）
峰度	（沒有定義）
熵	$\ln(4\,\pi \,\gamma )\!$
動差母函數	（沒有定義）
特徵函數	$\exp(x_{0}\,i\,t-\gamma \,\|t\|)\!$

柯西分布也叫作柯西-勞侖茲分布，它是以奧古斯丁·路易·柯西與亨德里克·勞侖茲名字命名的連續機率分布，其機率密度函數為

f(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!

={1 \over \pi }\left[{\gamma  \over (x-x_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\!

其中x₀是定義分布峰值位置的位置母數，γ是尺度母數，是半峰全寬/四分位距的一半。

作為機率分布，通常叫作柯西分布，物理學家也將之稱為勞侖茲分布或者Breit-Wigner分布。在物理學中的重要性很大一部分歸因於它是描述受迫共振的微分方程式的解。在光譜學中，它描述了被共振或者其它機制加寬的譜線形狀。在下面的部分將使用柯西分布這個統計學術語。

x₀ = 0且γ = 1的特例稱為標準柯西分布，其機率密度函數為

f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.\!

特性[編輯]

Lorentzian function Imaginary part Maple complex 3D plot

Imaginary plot of Lorentzian function (Maple animation)

其累積分布函數為：

F(x;x_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}

柯西分布的逆累積分布函數為

F^{-1}(p;x_{0},\gamma )=x_{0}+\gamma \,\tan(\pi \,(p-1/2)).\!

柯西分布的平均值、變異數或者動差都沒有定義，它的眾數與中值有定義都等於 x₀。

取 X 表示柯西分布隨機變數，柯西分布的特性函數表示為：

\phi _{x}(t;x_{0},\gamma )=\mathrm {E} (e^{i\,X\,t})=\exp(i\,x_{0}\,t-\gamma \,|t|).\!

如果 U 與 V 是期望值為 0、變異數為 1 的兩個獨立常態分布隨機變數的話，那麼比值 U/V 為標準柯西分布。

標準柯西分布是學生t-分布自由度為1的特殊情況。

柯西分布是穩定分布：如果 $X\sim {\textrm {Stable}}(1,0,\gamma ,\mu )$ ，則 $X\sim {\textrm {Cauchy}}(\mu ,\gamma )$ 。

如果 X₁, …, X_n 是分別符合柯西分布的相互獨立同分布隨機變數，那麼算術平均數（X₁ + … + X_n）/n 有同樣的柯西分布。為了證明這一點，我們來計算採樣平均的特性函數：

\phi _{\overline {X}}(t)=\mathrm {E} \left(e^{i\,{\overline {X}}\,t}\right)\,\!

其中， ${\overline {X}}$ 是採樣平均值。這個例子表明不能捨棄中央極限定理中的有限變量假設。

洛侖茲線性分布更適合於那種比較扁、寬的曲線高斯線性分布則適合較高、較窄的曲線當然，如果是比較居中的情況，兩者都可以。很多情況下，採用的是兩者各占一定比例的做法。如勞侖次占60%，高斯占40%.

勞侖次分布方程式[編輯]

函數表達式為 ${\frac {{\frac {1}{2}}\Gamma }{x^{2}+({\frac {1}{2}}\Gamma )^{2}}}$ ，其中 $\Gamma$ 為一個分布算符，詳見伽瑪分布。

外部連結[編輯]

機率分布（列表（英語：List of probability distributions））

離散單變量

有限支集	本福特定律白努利分布 Β-二項式分布二項式分布 categorical（英語：categorical distribution）超幾何分布 negative（英語：Negative hypergeometric distribution） Poisson binomial（英語：Poisson binomial distribution） Rademacher（英語：Rademacher distribution）孤子分布離散型均勻分布齊夫定律 Zipf–Mandelbrot（英語：Zipf–Mandelbrot law）

無限支集	beta negative binomial（英語：beta negative binomial distribution） Borel（英語：Borel distribution） Conway–Maxwell–Poisson（英語：Conway–Maxwell–Poisson distribution） discrete phase-type（英語：Discrete phase-type distribution） Delaporte（英語：Delaporte distribution） extended negative binomial（英語：extended negative binomial distribution） Flory–Schulz（英語：Flory–Schulz distribution） Gauss–Kuzmin（英語：Gauss–Kuzmin distribution）幾何分布對數分布 mixed Poisson（英語：mixed Poisson distribution）負二項分布 Panjer（英語：(a,b,0) class of distributions） parabolic fractal（英語：parabolic fractal distribution）卜瓦松分布 Skellam（英語：Skellam distribution） Yule–Simon（英語：Yule–Simon distribution） zeta（英語：zeta distribution）

連續單變量

緊支集	arcsine（英語：Arcsine distribution） ARGUS（英語：ARGUS distribution） Balding–Nichols（英語：Balding–Nichols model） Bates（英語：Bates distribution） Β分布 beta rectangular（英語：Beta rectangular distribution） continuous Bernoulli（英語：Continuous Bernoulli distribution）歐文–賀爾分布 Kumaraswamy（英語：Kumaraswamy distribution） logit-normal（英語：Logit-normal distribution） noncentral beta（英語：Noncentral beta distribution） PERT（英語：PERT distribution） raised cosine（英語：Raised cosine distribution） reciprocal（英語：Reciprocal distribution）三角形分布 U-quadratic（英語：U-quadratic distribution）連續型均勻分布維格納半圓分布

半無限區間支集	Benini（英語：Benini distribution） Benktander 1st kind（英語：Benktander type I distribution） Benktander 2nd kind（英語：Benktander type II distribution） beta prime（英語：Beta prime distribution） Burr（英語：Burr distribution） chi（英語：chi distribution）卡方分布 noncentral（英語：Noncentral chi-squared distribution） inverse（英語：Inverse-chi-squared distribution） scaled（英語：Scaled inverse chi-squared distribution） Dagum（英語：Dagum distribution） Davis（英語：Davis distribution）愛爾朗分布 hyper（英語：Hyper-Erlang distribution）指數分布亞指數分布 logarithmic（英語：Exponential-logarithmic distribution） F-分布 noncentral（英語：Noncentral F-distribution） folded normal（英語：folded normal distribution） Fréchet（英語：Fréchet distribution）伽瑪分布 generalized（英語：Generalized gamma distribution） inverse（英語：Inverse-gamma distribution） gamma/Gompertz（英語：Gamma/Gompertz distribution） Gompertz（英語：Gompertz distribution） shifted（英語：shifted Gompertz distribution） half-logistic（英語：Half-logistic distribution） half-normal（英語：half-normal distribution） Hotelling's T-squared（英語：Hotelling's T-squared distribution）逆高斯分布廣義逆高斯分布科摩哥洛夫-斯米爾諾夫檢定 Lévy（英語：Lévy distribution） log-Cauchy（英語：log-Cauchy distribution） log-Laplace（英語：log-Laplace distribution） log-logistic（英語：log-logistic distribution）對數常態分布 log-t（英語：log-t distribution） Lomax（英語：Lomax distribution） matrix-exponential（英語：matrix-exponential distribution）馬克士威-波茲曼分布 Maxwell–Jüttner（英語：Maxwell–Jüttner distribution） Mittag-Leffler（英語：Mittag-Leffler distribution） Nakagami（英語：Nakagami distribution）柏拉圖分布 phase-type（英語：Phase-type distribution） Poly-Weibull（英語：Poly-Weibull distribution）瑞立分布 relativistic Breit–Wigner（英語：Relativistic Breit–Wigner distribution）萊斯分布 truncated normal（英語：truncated normal distribution） type-2 Gumbel（英語：type-2 Gumbel distribution）韋伯分布 discrete（英語：discrete Weibull distribution） Wilks's lambda（英語：Wilks's lambda distribution）

無限區間支集	柯西分布 exponential power（英語：Generalized normal distribution）費雪z分布 Kaniadakis κ-Gaussian（英語：Kaniadakis Gaussian distribution） Gaussian q（英語：Gaussian q-distribution） generalized normal（英語：Generalized normal distribution） generalized hyperbolic（英語：Generalised hyperbolic distribution） geometric stable（英語：geometric stable distribution）耿貝爾分布 Holtsmark（英語：Holtsmark distribution） hyperbolic secant（英語：hyperbolic secant distribution） Johnson's S_U（英語：Johnson's SU-distribution）朗道分布拉普拉斯分布 asymmetric（英語：Asymmetric Laplace distribution） logistic（英語：logistic distribution） noncentral t（英語：Noncentral t-distribution）常態分布 normal-inverse Gaussian（英語：normal-inverse Gaussian distribution） skew normal（英語：Skew normal distribution） slash（英語：Slash distribution）穩定分布司徒頓t分布 Tracy–Widom（英語：Tracy–Widom distribution） variance-gamma（英語：Variance-gamma distribution）福格特函數

可變類型支集	generalized chi-squared（英語：Generalized chi-squared distribution） generalized extreme value（英語：generalized extreme value distribution） generalized Pareto（英語：Generalized Pareto distribution） Marchenko–Pastur（英語：Marchenko–Pastur distribution） Kaniadakis κ-exponential（英語：Kaniadakis Exponential distribution） Kaniadakis κ-Gamma（英語：Kaniadakis Gamma distribution） Kaniadakis κ-Weibull（英語：Kaniadakis Weibull distribution） Kaniadakis κ-Logistic（英語：Kaniadakis Logistic distribution） Kaniadakis κ-Erlangl（英語：Kaniadakis Erlang distribution） q-exponential（英語：q-exponential distribution） q-Gaussian（英語：q-Gaussian distribution） q-Weibull（英語：q-Weibull distribution） shifted log-logistic（英語：Shifted log-logistic distribution） Tukey lambda（英語：Tukey lambda distribution）

混合單變量

連續離散	修正高斯分布（英語：Rectified Gaussian distribution）

Discrete:
Ewens（英語：Ewens's sampling formula）
multinomial（英語：multinomial distribution）
- Dirichlet（英語：Dirichlet-multinomial distribution）
- negative（英語：negative multinomial distribution）
Continuous:
狄利克雷分布
- generalized（英語：Generalized Dirichlet distribution）
multivariate Laplace（英語：Multivariate Laplace distribution）
多元常態分布
multivariate stable（英語：Multivariate stable distribution）
multivariate t（英語：Multivariate t-distribution）
normal-gamma（英語：normal-gamma distribution）
- inverse（英語：Normal-inverse-gamma distribution）
隨機矩陣
LKJ（英語：Lewandowski-Kurowicka-Joe distribution）
矩陣常態分布
matrix t（英語：matrix t-distribution）
matrix gamma（英語：matrix gamma distribution）
- inverse matrix gamma（英語：inverse matrix gamma distribution）
威沙烏地分布
- normal（英語：normal-Wishart distribution）
- 逆威沙烏地分布
- normal-inverse（英語：normal-inverse-Wishart distribution）

定向統計（英語：Directional statistics）

循環單變量定向統計（英語：Directional statistics）: 圓均勻分布; univariate von Mises（英語：von Mises distribution）; wrapped normal（英語：Wrapped normal distribution）; wrapped Cauchy（英語：Wrapped Cauchy distribution）; wrapped exponential（英語：Wrapped exponential distribution）; wrapped asymmetric Laplace（英語：Wrapped asymmetric Laplace distribution）; wrapped Lévy（英語：Wrapped Lévy distribution）
球形雙變量: Kent（英語：Kent distribution）
環形雙變量: bivariate von Mises（英語：bivariate von Mises distribution）
多變量: von Mises–Fisher（英語：Von Mises–Fisher distribution）; Bingham（英語：Bingham distribution）

退化分布和奇異分布（英語：Singular distribution）

退化: 狄拉克δ函數
奇異: 康托爾分布

其它

Circular（英語：Circular distribution）
複合卜瓦松分布
elliptical（英語：Elliptical distribution）
exponential（英語：Exponential family）
natural exponential（英語：Natural exponential family）
location–scale（英語：location–scale family）
Maximum entropy（英語：Maximum entropy probability distribution）
Mixture（英語：Mixture distribution）
Pearson（英語：Pearson distribution）
Tweedie（英語：Tweedie distribution）
Wrapped（英語：Wrapped distribution）

閱論編常見一元（英語：Univariate distribution）機率分布

連續	Β 柯西 χ² 指數 F Γ 拉普拉斯對數常態常態柏拉圖學生t 均勻韋伯

離散	白努利二項離散均勻幾何超幾何負二項卜瓦松

機率分布列表（英語：List of probability distributions）

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