约翰逊多面体
| 部分的约翰逊多面体 | |
|---|---|
 正五角丸塔 （丸塔） |
 正五角台塔柱 （组合立体） |
 正二十面体欠邻二侧锥 （切割立体） |
 球状屋顶 （基本立体） |
约翰逊多面体，又译詹森多面体或庄逊多面体，是指每个面都是正多边形的严格凸多面体（凸正多边形多面体）。其不要求每个面皆要是相同的多边形，也不要求每个顶角要相等。约翰逊多面体的一个例子是正四角锥（J1），其由4个正三角形和1个正方形组成。一些作者会将约翰逊多面体定义为正多面体、半正多面体、均匀多面体、棱柱、反棱柱之外，所有由正多边形面组成的凸多面体。这些立体由诺曼·约翰逊在1966年命名；1969年，维克托·查加勒证明只有92个这样的立体。
在任何严格凸多面体中，每个顶点至少要是三个面的公共顶点，而且这些面的角度总和要小于360度。由于正多边形的角度至少为60度，因此每个顶点最多只能是5个面的公共顶点。正五角锥（J2）就是一个包含了有五个面的公共顶点之顶点的一个例子。
虽然没有明确限制组成约翰逊多面体之多边形面的边数，但事实证明，所有非正多面体、半正多面体、均匀多面体、棱柱、反棱柱的约翰逊多面体的面都是由三、 四、 五、 六、 八或十边形组成。
1966年，诺曼·约翰逊给出了一个约翰逊多面体的清单，里面包含了92种约翰逊多面体（不包括5个帕雷托立体、13个阿基米德立体、无限多的柱状均匀多面体，即棱柱和反棱柱）并给予了名称和编号。[1]他并没有证明这些立体仅有92个，但他确实猜想不存在其他这种性质的立体。维克托·查加勒在1969年证明诺曼·约翰逊所列出的92种约翰逊多面体是完整的，不存在其他有此性质的立体。
在约翰逊多面体中异相双四角台塔柱又称为伪小斜方截半立方体[2]，是唯一一个具有局部等角的特性，其所有顶点都是3个正方形和1个三角形的公共顶点。然而其不完全具备点可递的特性，也就是存在有一组顶点无法透过将立体旋转、平移或镜射等几何变换将顶点变换到另外一个顶点，或者说其顶点并没有全部位于同一个对称性的轨道内，因此其只能算是约翰逊多面体无法归类在阿基米德立体。[4]
命名
约翰逊多面体的命名遵循着一个灵活且精确的描述规则。因此许多约翰逊多面体可以用不同的方式命名，而不会影响其描述的准确性。大多数约翰逊多面体可以由前几种棱锥、台塔、丸塔、帕雷托立体、阿基米德立体、棱柱和反棱柱构成；特定立体的名称的反映这些成分。其命名主要从这些立体开始，加入一系列前缀或后缀到单词上以表示添加、切割和旋转等变换：
- “双-”（Bi-[<>]）两个相同的立体底面对底面贴合所形成的立体。对于台塔和丸塔，组合的结果还可以分成相同相位（“同相-”，ortho-）和不同相位（“异相-”，gyro-[*]）两种。正八面体在此命名规则下可以命名为双四角锥[4<>]。
- “-柱”（Elongated[=]）代表在目标立体的其中一个底面叠上角柱。若同时包含“双-”前缀，则代表角柱包夹在双立体的两立体之间。小斜方截半立方体在此命名规则下可以命名为同相双四角台塔。
- “-反角柱”或“-反棱柱”（Gyroelongated[z]）代表在目标立体的其中一个底面叠上反角柱。若同时包含“双-”前缀，则代表反角柱包夹在双立体的两立体之间。正二十面体在此命名规则下可以命名为双五角锥反角柱[5<z>]。
- “侧立体-”（Augmented[+]）表示在立体的侧面上叠上特定立体，例如“侧锥-”表示在目标立体的侧面上叠上锥体、“侧台塔-”表示在目标立体的侧面上叠上台塔、“侧丸塔-”表示在目标立体的侧面上叠上丸塔。
- “-欠立体”（Diminished[-]）表示目标立体缺少局部的结构，例如正二十面体欠侧锥表示少从正二十面体上切去一个侧锥（五角锥）的结果。
- “旋-”（Gyrate[*]）表示旋转立体上的局部特定结构。
后三种操作“侧立体-”、“-欠立体”和“旋-”可在同个较大的立体上重复套用，因此还有“二-”（Bi-）、“三-”（Tri-）的前缀，表示该种操作的套用次数，例如“二侧锥-”表示在目标立体的两个面上叠上锥体、“二旋侧台塔-”代表该立体有两个侧台塔的局部构造被旋转、“-欠三侧锥”代表从目标立体切去三个侧锥的结果。
在面数较多的立体中，“侧立体-”和“-欠立体”操作可以作用于相对面和非相对面。对于相对面，会用前缀“对-”（Para-）来称之，而非相对面的情况在约翰逊多面体可能是相邻的，因此会用前缀“邻-”（meta-）称之，另一种情况则是有相隔一个面，此时则以“间-”称之。
最后几个约翰逊多面体的名称是基于其构成的多边形组合来命名的。其名称由诺曼·约翰逊使用以下命名法命名[5]：
- “新月”（lune）定义为在正方形两对侧各有一个三角形的多边形组合，也就是三角形-正方形-三角形带。[6]
- “屋顶”（Spheno-，日语：屋根）表示由两个相邻“新月”组成的楔形多边形组合。
- “广底...屋顶”（Hebespheno-，日语：広底...屋根）表示有三个“新月”状组成，其中第三个“新月”状插在两个“新月”状中间，形成的钝状多边形组合。
- “球状-”（Corona，日语：球形-）表示由八个三角形组成的冠状多边形组合。
- “加长型球状-”（Megacorona，日语：長球形-）表示由12个三角形组成，比“球状”更大的冠状多边形组合。
分类
约翰逊多面体的构成方法之一是将其他由正多边形面组成的凸多面体和下面几种立体的拼合：
- 棱锥：以正三、四、五边形为底而成的角锥。如：正四角锥（J1）、正五角锥（J2）
- 台塔（平顶塔）：有两个在空间中平行的正多边形，其中一个的边数是另一个的两倍。在两者间加入三角形和正方形。如：正三角台塔（J3）、正四角台塔（J4）、正五角台塔（J5）。
- 丸塔：有两个在空间中平行的正多边形，其中一个的边数是另一个的两倍。在两者间加入三角形和正五边形。如：正五角丸塔（J6）、正五角丸塔反角柱（J25）。
另一种方法就是将这些凸多面体“切除”或“加上”一些立体。如：小斜方截半二十面体欠一侧台塔(J76)。也有一些是将这些凸多面体旋转局部来构成。如：单旋侧台塔小斜方截半二十面体（J72）。[7]
有九个约翰逊多面体不能以这些方法取得。如：球状屋顶（J86）、扭棱反角柱及其它。[8]
立体介绍
棱锥及塔
前6个约翰逊多面体是底面边数少于5的棱锥、台塔或丸塔。底面边数达到6或以上，则无法使让面维持正多边形，因此底面边数更多的棱锥等不属于约翰逊多面体。[9]:115
锥体
前2个约翰逊多面体J1及J2是锥体，分别为正四角锥和正五角锥。正三角锥因为是正多面体（正四面体）所以不算在约翰逊多面体内。这些立体皆代表正多面体的局部。
| 正多面体 3> T |
J1 4> |
J2 5> |
|---|---|---|
| 正三角锥 （正四面体） |
正四角锥 | 正五角锥 |
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| 相关正多面体 | ||
| 正四面体 | 正八面体 | 正二十面体 |
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台塔
接下来3个约翰逊多面体J3、J4、J5是台塔，分别是正三角台塔、正四角台塔和正五角台塔。正二角台塔已退化为三角柱，而三角柱算是均匀多面体，因此也不算在约翰逊多面体内。
| 台塔 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 均匀多面体 | J3 3c aC- |
J4 4c |
J5 5c | |
| 正二角台塔 （三角柱） |
正三角台塔 | 正四角台塔 | 正五角台塔 | |
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| 相关均匀多面体 | ||||
| 截半立方体 | 小斜方截半立方体 | 小斜方截半二十面体 | ||
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丸塔
接下来的1个约翰逊多面体J6是丸塔，即正五角丸塔。正四角丸塔和正六角丸塔因无法满足所有面皆为正多边形的条件，因此不属于约翰逊多面体。
| 丸塔 | ||||
|---|---|---|---|---|
| 非约翰逊多面体 4r |
J6 5r aD- |
非约翰逊多面体 6r | ||
| 正四角丸塔 | 正五角丸塔 | 正六角丸塔 | ||
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| 相关均匀多面体 | ||||
| 截半二十面体 | ||||
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锥体衍生
约翰逊多面体编号7至11是由锥体衍生而来。
锥柱及锥反角柱
锥柱及锥反角柱皆为锥体与各种柱状立体组合而成，其中，锥柱为锥体和柱体底面对体面叠合而成；而锥反角柱为锥体和反角柱底面对体面叠合而成。
锥柱及锥反角柱被归类为约翰逊多面体的最大底面边数皆仅有5，也就是六角锥柱和六角锥反角柱皆不属于约翰逊多面体。特别地，在锥反角柱，底面边数为3的三角锥反角柱也不是约翰逊多面体，因为三角反角柱若要满足所有面都是正多边形的条件时，会产生互相共面的面。
| 锥柱 | 锥反角柱 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J7 3=> |
J8 4=> |
J9 5=> |
共面 | J10 4z> |
J11 5z> I- |
| 正三角锥柱 | 正四角锥柱 | 正五角锥柱 | 正三角锥反角柱 （三方半偏方面体） |
正四角锥反角柱 | 正五角锥反角柱 |
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| 组合的多面体 | |||||
| 正三角锥 三角柱 |
正四角锥 立方体 |
正五角锥 五角柱 |
正三角锥 正三角反棱柱 |
正四角锥 正四角反棱柱 |
正五角锥 正五角反棱柱 |
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双锥、双锥柱及双反角锥柱
在双锥体中，归类为约翰逊多面体底面边数最大为5，即双五角锥，而双四角锥若满足所有面都是正多边形的条件会变成正多面体（正八面体）因此没有归类在约翰逊多面体中。而双锥柱在底面边数为3、4和5时皆为约翰逊多面体。双反角锥柱则是在底面边数为5时，也就是双五角锥反角柱若满足所有面都是正多边形的条件会变成正多面体（正二十面体）因此没有归类在约翰逊多面体中；而底面边数为3时若满足所有面都是正多边形的条件时，其面会出现共面的情况，因此也不属于约翰逊多面体。
| 双锥体 | 双锥柱 | 双反角锥柱 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| J12 3<> |
正多面体 4<> |
J13 5<> |
J14 3<=> |
J15 4<=> |
J16 5<=> |
共面 3<z> |
J17 4<z> |
正多面体 5<z> |
| 双三角锥 | 双四角锥 （正八面体） |
双五角锥 | 双三角锥柱 | 双四角锥柱 | 双五角锥柱 | 双三角锥反角柱 （三方偏方面体） |
双四角锥反角柱 | 双五角锥反角柱 （正二十面体） |
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| 组合的多面体 | ||||||||
| 正三角锥 | 正四角锥 | 正五角锥 | 正三角锥 三角柱 |
正四角锥 立方体 |
正五角锥 正五角柱 |
正三角锥 正三角反棱柱 |
正四角锥 正四角反棱柱 |
正五角锥 正五角反棱柱 |
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台塔及丸塔衍生
约翰逊多面体编号18至48是由台塔及丸塔衍生而来。
台塔及丸塔与柱体或反柱体组合
台塔及丸塔与柱体或反柱体可以组合出台塔柱（台塔与棱柱的组合）、丸塔柱（丸塔与棱柱的组合）、台塔反角柱（台塔与反角柱的组合）和丸塔反角柱（丸塔与反角柱的组合）。
这些立体被归类为约翰逊多面体的最高底面边数同样是5，即正五角台塔柱、正五角丸塔柱、正五角台塔反角柱和正五角丸塔反角柱。同样在丸塔的组合中，仅有底面边数为5的正五角丸塔柱和正五角丸塔反角柱是约翰逊多面体，底面边数是4或以下、6或以上皆无法满足所有面都是正多边形的情况。而所有这些立体在底面边数为2的情况也非约翰逊多面体，其中，正二角台塔柱会出现共面的情况，而正二角台塔反角柱则为凹多面体。
| 台塔柱 | 丸塔柱 | 台塔反角柱 | 丸塔反角柱 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 共面 | J18 3c= |
J19 4c= eC- |
J20 5c= |
J21 5r= |
凹多面体 | J22 3cz |
J23 4cz |
J24 5cz |
J25 5rz |
| 正二角台塔柱 | 正三角台塔柱 | 正四角台塔柱 | 正五角台塔柱 | 正五角丸塔柱 | 正二角台塔反角柱 | 正三角台塔反角柱 | 正四角台塔反角柱 | 正五角台塔反角柱 | 正五角丸塔反角柱 |
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| 组合的多面体 | |||||||||
| 四角柱 三角柱 |
六角柱 正三角台塔 |
八角柱 正四角台塔 |
十角柱 正五角台塔 |
十角柱 正五角丸塔 |
四角反棱柱 三角柱 |
六角反棱柱 正三角台塔 |
八角反棱柱 正四角台塔 |
十角反棱柱 正五角台塔 |
十角反棱柱 正五角丸塔 |
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双台塔为两个台塔底面对底面贴合所形成的立体。在凸多面体的情况下，又可以分成同相双台塔和异相双台塔。其是否属于约翰逊多面体与台塔的情况类似，然而也有一些例外情况，例如异相双三角台塔在所有面都是正多边形的条件下会是一种阿基米德立体——截半立方体，所以不会被归类在约翰逊多面体中。[10]
| 同相双台塔 | 异相双台塔 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 共面 | J27 3cc |
J28 4cc |
J30 5cc |
J26 2cc* |
半正多面体 | J29 4cc* |
J31 5cc* |
| 同相双楔体 | 同相双三角台塔 | 同相双四角台塔 | 同相双五角台塔 | 异相双三角柱 | 异相双三角台塔 （截半立方体） |
异相双四角柱 | 异相双五角柱 |
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| 组合的多面体 | |||||||
| 三角柱 | 三角台塔 | 四角台塔 | 五角台塔 | 三角柱 | 三角台塔 | 四角台塔 | 五角台塔 |
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台塔丸塔为台塔与丸塔的组合，而双丸塔则为两个丸塔底面对底面贴合所形成的立体，两者在凸多面体的条件下与双台塔一样可分为同相与异相，分别为同相台塔丸塔、异相台塔丸塔、同相双丸塔和异相双丸塔。与丸塔的情况一样，仅有底面边数为5的情况时能被归类在约翰逊多面体，即同相五角台塔丸塔、异相五角台塔丸塔、同相双五角丸塔和异相双五角丸塔。而异相双五角丸塔若在所有面都是正多边形的条件下，则其与截半二十面体无异[11]。
| 台塔丸塔 | 双丸塔 | ||
|---|---|---|---|
| J32 5cr |
J33 5cr* |
J34 5rr aD* |
半正多面体 |
| 同相五角台塔丸塔 | 异相五角台塔丸塔 | 同相双五角丸塔 | 异相双五角丸塔 （截半二十面体） |
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| 组合的多面体 | |||
| 五角台塔 五角丸塔 |
五角丸塔 | ||
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双台塔柱
双台塔柱为在双台塔的两个台塔中间再加一个柱体所构成的立体，与双台塔一样，可分成同相与异相。其中，同相双四角台塔柱在所有面都是正多边形的条件下与小斜方截半立方体等价。
| 同相双台塔柱 | 异相双台塔柱 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 共面 | J35 3c=c |
半正多面体 | J38 5c=c |
共面 | J36 3c=c* |
J37 4c=c* eC* |
J39 5c=c* |
| 同相双二角台塔柱 | 同相双三角台塔柱 | 同相双四角台塔柱 （小斜方截半立方体） |
同相双五角台塔柱 | 异相双二角台塔柱 | 异相双三角台塔柱 | 异相双四角台塔柱 | 异相双五角台塔柱 |
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| 组合的多面体 | |||||||
| 四角柱 三角柱 |
六角柱 三角台塔 |
八角柱 四角台塔 |
十角柱 五角台塔 |
四角柱 三角柱 |
六角柱 三角台塔 |
八角柱 四角台塔 |
十角柱 五角台塔 |
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台塔丸塔柱与双丸塔柱
台塔丸塔柱为在台塔丸塔两底面相联的中间再加入一个柱体构成的立体，而双丸塔柱为在双丸塔的两个丸塔中间再加一个柱体所构成的立体。与台塔丸塔与双丸塔一样，可分成同相与异相。这两种立体和丸塔一样，仅有底面边数为5的情况可被归类为约翰逊多面体。
| 台塔丸塔柱 | 双丸塔柱 | ||
|---|---|---|---|
| J40 5c=r |
J41 5c=r* |
J42 5r=r |
J43 5r=r* |
| 同相五角台塔丸塔柱 | 异相五角台塔丸塔柱 | 同相五角双丸塔柱 | 异相五角双丸塔柱 |
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| 组合的多面体 | |||
| 十角柱 五角台塔 五角丸塔 |
十角柱 五角丸塔 | ||
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双台塔反角柱、台塔丸塔反角柱与双丸塔反角柱
双台塔反角柱、台塔丸塔反角柱与双丸塔反角柱皆为在原组合立体的底面与底面之间加入反角柱所组成的立体。与双台塔柱、台塔丸塔柱与双丸塔柱不同，双台塔反角柱、台塔丸塔反角柱与双丸塔反角柱并不分同相与异相，仅有在每个立体各存在手性镜像。
| 双台塔反角柱 | 台塔丸塔反角柱 | 双丸塔反角柱 | |||
|---|---|---|---|---|---|
| 凹多面体 | J44 3czc |
J45 4czc |
J46 5czc |
J47 5czr |
J48 5rzr |
| 双二角台塔反角柱 | 双三角台塔反角柱 | 双四角台塔反角柱 | 双五角台塔反角柱 | 五角台塔丸塔反角柱 | 双五角丸塔反角柱 |
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| 组合的多面体 | |||||
| 三角柱 四角反棱柱 |
三角台塔 六角反棱柱 |
四角台塔 八角反棱柱 |
五角台塔 十角反棱柱 |
五角台塔 五角丸塔 十角反棱柱 |
五角丸塔 十角反棱柱 |
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侧锥柱体
约翰逊多面体编号49至57是侧锥柱体。侧锥柱体是指在柱体侧面上叠上锥体所形成的立体。能在保持凸多面体和每个面都是正多边形的情况下在侧面加入锥体的柱体最大的底面边数为6。三角柱三个侧面都能加入锥体形成满足约翰逊多面体条件的侧锥三角柱，分别有侧锥三角柱、二侧锥三角柱和三侧锥三角柱。[12]:86
四角柱不能在相邻侧面上叠上锥体，否则会变成凹多面体，因此四角柱最多只能加入两个侧锥，分别为侧锥四角柱和二侧锥四角柱，然而这两个立体分别与四角锥柱和双四角锥柱相同，因此不在此节列出。
五角柱也不能在相邻侧面上叠上锥体，否则会变成凹多面体，因此五角柱最多只能加入两个侧锥，分别为侧锥五角柱和间二侧锥五角柱。
六角柱同样不能在相邻侧面上叠上锥体，否则会变成凹多面体，然而六角柱有六个侧面，因此最多可以加入三个侧锥。在加入两个侧锥的情况下，可以分成加在相对侧面上的二侧锥六角柱和加在相隔一个侧面之侧面上的二侧锥六角柱，因此有对二侧锥六角柱和间二侧锥六角柱两种。另外两种属于约翰逊多面体的侧锥六角柱为侧锥六角柱和三侧锥六角柱。
| 侧锥三角柱 | 侧锥五角柱 | 侧锥六角柱 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| J49 3=+ |
J50 3=++ |
J51 3=+++ |
J52 5=+ |
J53 5=++ |
J54 6=+ |
J55 6=++ |
J56 6=+x |
J57 6=+++ |
| 侧锥三角柱 | 二侧锥三角柱 | 三侧锥三角柱 | 侧锥五角柱 | 间二侧锥五角柱 | 侧锥六角柱 | 对二侧锥六角柱 | 间二侧锥六角柱 | 三侧锥六角柱 |
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| 组合的多面体 | ||||||||
| 三角柱 四角锥 |
五角柱 四角锥 |
六角柱 四角锥 | ||||||
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| ||||||
正多面体衍生
约翰逊多面体编号58至64的立体可以借由在正多面体上叠上锥体或移除局部来构造。能够形成约翰逊多面体的侧锥正多面体有正四面体、立方体和正十二面体，而侧锥正四面体同于双三角锥因此不在此列出；侧锥立方体与侧锥四角柱、四角锥柱和双四角锥柱相同因此也不在此列出，下表将列出侧锥正十二面体的情况。
而能够移除局部构成约翰逊多面体的正多面体有正二十面体。
侧锥正十二面体
正十二面体不能在相邻侧面上叠上锥体，否则会变成凹多面体，因此正十二面体最多只能加入三个侧锥。在加入两个侧锥的情况下，可以分成加在相对侧面上的二侧锥正十二面体和加在（相对）相邻的侧面上的二侧锥正十二面体，因此有对二侧锥正十二面体和间二侧锥正十二面体两种。
| J58 D+ |
J59 D++ |
J60 D+x |
J61 D+++ |
|---|---|---|---|
| 侧锥正十二面体 | 对二侧锥正十二面体 | 间二侧锥正十二面体 | 三侧锥正十二面体 |
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| 组合的多面体 | |||
| 正十二面体和正五角锥 | |||
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正二十面体欠侧锥和侧锥正二十面体欠侧锥
可此从正二十面体移除五角锥来构造新的立体，称为正二十面体欠侧锥。最多可以从正二十面体移除3个五角锥。移除掉3个五角锥的正二十面体还可以进一步地在其中一个三角形面上叠上三角锥构成侧锥正二十面体欠侧锥。
| 正二十面体欠侧锥 | 侧锥正二十面体欠侧锥 | |||
|---|---|---|---|---|
| J11 (重复) |
均匀多面体 | J62 I-/ |
J63 I--- |
J64 I---+ |
| 正二十面体欠一侧锥 （五角锥反角柱） |
正二十面体欠对二侧锥 （五角反棱柱） |
正二十面体欠邻二侧锥 | 正二十面体欠三侧锥 | 侧锥正二十面体欠三侧锥 |
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阿几米德立体衍生
约翰逊多面体编号65至83的立体可以借由在阿几米德立体上叠上台塔、移除局部或旋转局部来构造。
侧台塔阿几米德立体
能够在面上叠上台塔购造成约翰逊多面体的阿几米德立体有截角四面体、截角立方体和截角十二面体。这些立体皆不能在相邻面上叠上台塔，否则会变成凹多面体。因此截角四面体仅有一个六边形面可以叠上三角台塔；而截角立方体最多可以在两个八边形面上叠上四角台塔，对于叠上两个四角台塔的情况，其必须叠在相对的八边形面上。截角十二面体最多可以叠上3个五角台塔。
| 侧台塔截角四面体 | 侧台塔截角立方体 | 侧台塔截角十二面体 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| J65 tT+ |
J66 tC+ |
J67 tC++ |
J68 tD+ |
J69 tD++ |
J70 tD+x |
J71 tD+++ |
| 侧台塔截角四面体 | 侧台塔截角立方体 | 对二侧台塔截角立方体 | 侧台塔截角十二面体 | 对二侧台塔截角十二面体 | 间二侧台塔截角十二面体 | 三侧台塔截角十二面体 |
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| 组合的多面体 | ||||||
| 截角四面体 三角台塔 |
截角立方体 四角台塔 |
截角十二面体 五角台塔 | ||||
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| ||||
旋转局部或移除局部的阿几米德立体
| 旋侧台塔小斜方截半二十面体 | |||
|---|---|---|---|
| J72 eD* |
J73 eD** |
J74 eD*' |
J75 eD*** |
| 单旋侧台塔小斜方截半二十面体 | 对二旋侧台塔小斜方截半二十面体 | 邻二旋侧台塔小斜方截半二十面体 | 三旋侧台塔小斜方截半二十面体 |
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| 小斜方截半二十面体欠侧台塔 | |||
| J76 eD- |
J80 eD-- |
J81 eD-/ |
J83 eD--- |
| 小斜方截半二十面体欠一侧台塔 | 小斜方截半二十面体欠对二侧台塔 | 小斜方截半二十面体欠邻二侧台塔 | 小斜方截半二十面体欠三侧台塔 |
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| 旋侧台塔小斜方截半二十面体欠侧台塔 | |||
| J77 -* |
J78 -' |
J79 -** |
J82 --* |
| 对单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔 | 邻单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔 | 二旋侧台塔小斜方截半二十面体欠一侧台塔 | 单旋侧台塔小斜方截半二十面体欠二侧台塔 |
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此外还有一些其他立体也可以视为是旋转局部或移除局部的阿几米德立体，例如J37（异相双四角台塔柱）可以视为是旋转一侧四角台塔的小斜方截半立方体。
| J27 | J3 | J34 | J6 | J37 | J19 | 均匀多面体 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 单旋截半立方体 （同相双三角台塔） |
截半立方体欠侧台塔 （三角台塔） |
单旋截半二十面体 （同相双五角丸塔） |
截半二十面体欠侧台塔 （五角丸塔） |
单旋小斜方截半立方体 （异相双四角台塔柱） |
小斜方截半立方体欠侧台塔 （四角台塔柱） |
小斜方截半立方体欠二侧台塔 （八角柱） |
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| 旋转局部或移除局部的多面体 | ||||||
| 截半立方体 | 截半二十面体 | 小斜方截半立方体 | ||||
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基本立体
约翰逊多面体编号84至92的立体不能以切除、增加角锥、台塔、丸塔等方法取得。
扭棱反角柱
扭棱反角柱可以透过将反角柱截角后交错来构造。可以构成约翰逊多面体的扭棱反角柱底面边数最大只能到4，更大的底面边数无法以所有面皆为正多边形的形式存在；而扭棱三角反角柱若要满足有面皆为正多边形的条件则会与正二十面体无异，因此不列入约翰逊多面体。
| J84 | 正多面体 | J85 |
|---|---|---|
| 扭棱锲形体 ss{2,4} |
正二十面体 ss{2,6} |
扭棱四角反角柱 ss{2,8} |
| 扭棱二角反角柱 | 扭棱三角反角柱 | 扭棱四角反角柱 |
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其它立体
| J86 | J87 | J88 | |
|---|---|---|---|
| 球状屋顶 （Sphenocorona） |
侧锥球状屋顶 （Augmented sphenocorona） |
加长型球状屋顶 （Sphenomegacorona） | |
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| J89 | J90 | J91 | J92 |
| 广底加长型球状屋顶 （Hebesphenomegacorona） |
五角锥球状屋顶 （Disphenocingulum） |
双新月双丸塔 （Bilunabirotunda） |
三角广底球状丸塔 （Triangular hebesphenorotunda） |
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外接球约翰逊多面体
有25个约翰逊多面体存在外接球，这意味着这25个约翰逊多面体的顶点都可以位于同一个球面上。这些立体包括编号为1至6、11、19、27、34、37、62、63和72至83的约翰逊多面体。这些立体皆与正多面体有分割、旋转局部或移除局部的关联。[13]
| 正八面体 | 截半立方体 | 小斜方截半立方体 | |||
|---|---|---|---|---|---|
| J1
|
J3
|
J27
|
J4
|
J19
|
J37
|
| 正二十面体 | 截半二十面体 | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| J2
|
J11
|
J62
|
J63
|
J6
|
J34
|
| 小斜方截半二十面体 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| J5
|
J72
|
J73
|
J74
|
J75
|
J76
|
J77
|
| J78
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J79
|
J80
|
J81
|
J82
|
J83
| |
参考资料
- ^ Johnson, Norman W., Convex polyhedra with regular faces, Canadian Journal of Mathematics, 1966, 18: 169–200, MR 0185507, Zbl 0132.14603, doi:10.4153/cjm-1966-021-8
- ^ GWH. Pseudo Rhombicuboctahedra. www.georgehart.com. [2018-04-17]. （原始内容存档于2012-12-08）.
- ^ Grünbaum, Branko, An enduring error (PDF), Elemente der Mathematik, 2009, 64 (3): 89–101 [2022-12-31], MR 2520469, doi:10.4171/EM/120
, （原始内容存档 (PDF)于2014-05-07） Reprinted in Pitici, Mircea (编). The Best Writing on Mathematics 2010. Princeton University Press. 2011: 18–31..
- ^ Sommerville, D. M. Y., Semi-regular networks of the plane in absolute geometry, Transactions of the Royal Society of Edinburgh, 1905, 41: 725–747 [2022-12-31], doi:10.1017/s0080456800035560, （原始内容存档于2022-12-24）. As cited by Grünbaum (2009)[3].
- ^ George Hart (quoting Johnson). Johnson Solids. Virtual Polyhedra. 1996 [2014-02-05]. （原始内容存档于2022-01-11）.
- ^ The Bilunabirotunda. qfbox.info. [2022-09-09]. （原始内容存档于2022-09-09）.
- ^ The Gyrate Rhombicosidodecahedron. www.qfbox.info. [2023-01-04]. （原始内容存档于2023-01-04）.
- ^ George W. Hart. Johnson Solids. [2008-04-12]. （原始内容存档于2022-01-11）.
- ^ MATHEMATICS IN ENGLISH (PDF). education.gov.za. [2023-01-01]. （原始内容存档 (PDF)于2023-01-10）.
- ^ The Triangular Cupola. www.qfbox.info. [2022-12-31]. （原始内容存档于2023-01-03）.
- ^ The Pentagonal Rotunda. www.qfbox.info. [2022-12-31]. （原始内容存档于2023-01-04）.
- ^ Rajwade, A.R. Convex Polyhedra with Regularity Conditions and Hilbert's Third Problem. Texts and Readings in Mathematics. Hindustan Book Agency. 2001. ISBN 9789386279064.
- ^ Klitzing, Dr. Richard. Johnson solids et al.. bendwavy.org. [2018-04-17]. （原始内容存档于2014-05-02）.
- Victor A. Zalgaller. Convex Polyhedra with Regular Faces. Consultants Bureau. 1969. No ISBN. The first proof that there are only 92 Johnson solids.
外部链接
- Sylvain Gagnon之"Convex polyhedra with regular faces[永久失效链接]", Structural Topology, No. 6, 1982, 83-95.
- Paper Models of Polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- George W. Hart描述之约翰逊多面体 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- 92种立体的图片
- 埃里克·韦斯坦因. Johnson多面體. MathWorld.
- 约翰逊多面体虚拟模型
- Magnetic Blocks之Educational toy system for making Johnson solids and other polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- Vladimir Bulatov之约翰逊多面体的虚拟模型 （页面存档备份，存于互联网档案馆）