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圆周率是一个数学常数，通常以字母π表示。在欧几里得几何中，它表示任何一个圆的周长与直径之比。π是一个无理数，因此它的小数展开式永远不会循环或穷尽。π也是一个超越数，即它不是任何整系数代数方程的根。在十进制中，圆周率的近似值约为：

\pi =3.1415926\ldots

数学家威廉·琼斯首先在1707年从希腊文“周长”（περίμετρος）一词中提取出字母π，用来表示圆周率。随后莱昂哈德·欧拉于1737年将其推广^[1]。π是数学和物理学中最重要的常数之一，大量的科学和工程学公式中都用到了π。纵观数学历史，曾经有大量的数学家为精确计算π，或了解其本质做出了贡献。圆周率本身的魅力也因此延伸到了非数学的文化领域中。

基本特征

定义

在欧几里得几何中，圆周率被定义为一个圆的周长与直径的比值^[2]。这是一个与直径大小无关的常数，即对于任何一个圆，总有下述成立：

\pi ={\frac {C}{d}}.

同样，圆周率也可以定义为一个圆的面积与半径平方的比值，即：

\pi ={\frac {S}{r^{2}}}.

上述定义仅限于欧几里得几何。因为在非欧几何中，圆周率可能会大于或小于通常值。例如，在转盘圆周率佯谬中，得到了周长与直径之比大于π的结果^[3]。由于这些问题，数学家有时更愿意使用脱离几何学的定义方式。例如在分析学里，π可以严格地定义为满足sin(x) = 0的最小正实数x^[4]。这一定义与上述方式是等价的。

无理性与超越性

π是一个无理数，即它不能被写成两个整数之比。这一性质最早由九世纪的阿拉伯数学家花剌子密提出^[5]。这一命题的证明由约翰·海因里希·兰伯特在1768年完成^[6]。到了20世纪，数学家们找到了更多只需积分知识即可完成的证明。其中伊万·尼云提出的一个证法广为流传^[7]^[8]。

π也是一个超越数，即它不是任何一个整系数代数方程的根^[9]。它的证明由德国数学家费迪南·冯·林德曼于1882年给出。由此可以推出一个重要的结果：π不是规矩数。这意味着使用尺规作图完成化圆为方的过程是不可能的。此后，德国数学家果尔丹在1893年将这一证明化简为了初等证明^[10]。

小数表示

历史

^[11]^[12]^[13]

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正数 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整数 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代数数 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
复数 $\mathbb {C}$
高斯整数 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整数 $\mathbb {Z} ^{-}$
分数
 单位分数
 二进分数
 规矩数
 无理数
 超越数
 虚数 $\mathbb {I}$
二次无理数
 艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元数 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元数 $\mathbb {S}$
超实数 $^{*}\mathbb {R}$
大实数
 上超实数

双曲复数
 双复数
 复四元数
共四元数（英语：Dual quaternion）
超复数
 超数
 超现实数

其他

质数 $\mathbb {P}$
可计算数
 基数
 阿列夫数
 同余
 整数数列
 公称值

规矩数
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 进数
 数学常数

圆周率 $\pi =3.14159265$ …
自然对数的底 $e=2.718281828$ …
虚数单位 $i={\sqrt {-{1}}}$
无限大 $\infty$

参考文献

^ 圆周率的来历.
^ 圆周率、圆的面积. 杨老师在线.
^ 刘宇晖. 转盘佯谬分析 (PDF).
^ （英文）Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis 3e. McGraw-Hill. 1976: 183 [1953]. ISBN 0-07-054235-X.
^ （英文）Glimpses in the history of a great number: Pi in Arabic mathematicsby Mustafa Mawaldi
^ （英文）Lambert, Johann Heinrich, Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques, Histoire de l'Académie, XVII (Berlin), 1761, XVII: 265–322 (1768)
^ （英文）Niven, Ivan. A simple proof that π is irrational (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 1947, 53 (6): 509 [2007-11-04]. doi:10.1090/S0002-9904-1947-08821-2.
^ （英文）Richter, Helmut. Pi Is Irrational. Leibniz Rechenzentrum. 1999-07-28 [2007-11-04].
^ （英文）Mayer, Steve. The Transcendence of π. [2007-11-04].
^ 陈仁政. 4.3 超越数时期对π的认识. 《说不尽的π》. 科学出版社. ISBN 978-7-03-014635-9. 在Mathematische Annalen, 1893, Vol43上
^ （英文）The Number Pi in the Bible.
^ 圆周率π的计算历程. 中国科学院自动化研究所.
^ 陈仁政. 第二章：圆周率的名称. 《说不尽的π》. 科学出版社. ISBN 978-7-03-014635-9.

外部链接

开放目录项目中的“Digits of Pi”
A000796 Decimal expansions of Pi and related links at the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Formulas for π at MathWorld
Representations of Pi at Wolfram Alpha
Pi at PlanetMath
Determination of π at Cut-the-knot
Statistical Distribution Information on PI based on 1.2 trillion digits of PI

[collier-1] 圆周率的来历.

[yang-2] 圆周率、圆的面积. 杨老师在线.

[3] 刘宇晖. 转盘佯谬分析 (PDF).

[4] （英文）Rudin, Walter. Principles of Mathematical Analysis 3e. McGraw-Hill. 1976: 183 [1953]. ISBN 0-07-054235-X.

[5] （英文）Glimpses in the history of a great number: Pi in Arabic mathematicsby Mustafa Mawaldi

[6] （英文）Lambert, Johann Heinrich, Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques, Histoire de l'Académie, XVII (Berlin), 1761, XVII: 265–322 (1768)

[7] （英文）Niven, Ivan. A simple proof that π is irrational (PDF). Bulletin of the American Mathematical Society. 1947, 53 (6): 509 [2007-11-04]. doi:10.1090/S0002-9904-1947-08821-2.

[8] （英文）Richter, Helmut. Pi Is Irrational. Leibniz Rechenzentrum. 1999-07-28 [2007-11-04].

[ttop-9] （英文）Mayer, Steve. The Transcendence of π. [2007-11-04].

[10] 陈仁政. 4.3 超越数时期对π的认识. 《说不尽的π》. 科学出版社. ISBN 978-7-03-014635-9. 在Mathematische Annalen, 1893, Vol43上

[bible-11] （英文）The Number Pi in the Bible.

[12] 圆周率π的计算历程. 中国科学院自动化研究所.

[13] 陈仁政. 第二章：圆周率的名称. 《说不尽的π》. 科学出版社. ISBN 978-7-03-014635-9.

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基本特征

定义

无理性与超越性

小数表示

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相关内容

参考文献

外部链接