公式 (数理逻辑)

在数理逻辑中，公式是表达命题的形式语法对象，除了这个命题可能依赖于这个公式的自由变量的值之外。^{[需要解释（似乎翻译自英语而语焉不详）]}

公式精确定义依赖于涉及到的特定的形式逻辑，但有如下一个非常典型的定义（特定于一阶逻辑）：公式是相对于特定语言而定义的；就是说，一组常量符号、函数符号和关系符号，这里的每个函数和关系符号都带有一个元数（arity）来指示它所接受的参数的数目。

定义

项的递归定义

一个变量

或

一个常量符号

或

$f(t_{1},...,t_{n})\,$ ，这里的 $f\,$ 是一个n-元函数符号，而 $t_{1},...,t_{n}\,$ 是项。

公式的递归定义

$t_{1}=t_{2}\,$ ，这里的 $t_{1}\,$ 和 $t_{2}\,$ 是项

或

$R(t_{1},...,t_{n})\,$ ，这里的 $R\,$ 是一个n-元关系符号，而 $t_{1},...,t_{n}\,$ 是项

或

$(\neg \varphi )$ ，这里的 $\varphi \,$ 是公式

或

$(\varphi \land \psi )\,$ ，这里的 $\varphi \,$ 和 $\psi \,$ 是公式

或

$(\exists x)(\varphi )\,$ ，这里的 $x\,$ 是一个变量而 $\varphi \,$ 是一个公式。

解释

公式并不一定具备封闭形式（即不一定没有省略号）。

阶乘“！”、求和式“∑”和求积式“∏”等都隐含省略号。
排列数和组合数等都含有省略号。

按照通项公式去计算有时比按照定义去计算更加复杂。

斐波那契数列公式：

F_{n}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left\{\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}-\left({\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}\right\}={\varphi ^{n} \over {\sqrt {5}}}-{(1-\varphi )^{n} \over {\sqrt {5}}}

但是相比较按照这个公式计算 $f_{n}\,$ ，还是按照递归定义： $f_{n}=f_{n-2}+f_{n-1}(n\geq 3)\,$ 进行计算更方便。

根据谓词逻辑的语义推导规则，语义应该具有一致性，就是对于一个命题逻辑语句集f，当且仅当至少存在这样一种解释i，f的一切元素在i之下都是真的，那么，f是语义一致的。在命题逻辑语义学内，一个赋值不能同时把真和假给予某个命题原子式。在命题逻辑语义学中，在同一解释下，一个集合不能既属于某个谓词的外延又不属于该谓词的外延。{现代西方哲学逻辑，复旦大学出版社235页}

原子公式

参见

外部链接

NIST数学函数（页面存档备份，存于互联网档案馆）