代數擴張

代數擴張（英語：Algebraic extension）是抽象代數中域擴張的一類。一個域擴張L/K被稱作代數擴張，若且唯若L中的每個元素都是某個以K中元素為係數的非零多項式的根。反之則稱之為超越擴張。最簡單的代數擴張例子有：$\mathbb {C} /\mathbb {R}$、$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$。

定義

代數擴張的基礎是代數元的概念。給定域擴張L/K，L某個元素如果是一個以K中元素為係數的非零多項式的根，則稱其為K上的代數元。如果L中所有元素都是K上的代數元，就稱域擴張L/K為代數擴張。

次數

設有域擴張L/K，L可以看作是K上的向量空間，將其維度稱作這個擴張的次數，記作[L:K]。有限次數的擴張（簡稱有限擴張）都是代數擴張；反之，給定一個代數擴張L/K，則L裡的任一元素α生成的子擴張K(α)/K都是K的有限擴張。但代數擴張本身並不一定是有限擴張，一個代數擴張可表作有限子擴張的歸納極限。

代數擴張與多項式的根

在一個代數擴張L/K中，L中的每個元素α都是某個以K中元素為係數的多項式（以下簡稱K-多項式，所有K-多項式的集合記作K[X]）f的根。所有以α為根的K-多項式中次數最低者稱作α的極小多項式（通常要求其為首一多項式，即最高次項係數等於一，以保證唯一性）。極小多項式總是不可約多項式。

若K-多項式f不可約，則商環L := K[X]/( f )是K的一個域擴張，它的次數[L : K] = deg(f)，而且不定元X在商環中的像是在f的一個在L中的根，其極小多項式正是f。通過這種構造，我們可抽象地加入某個多項式的根。例如$\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)$就是在實數域中添加了虛數單位i得到的擴域：複數域$\mathbb {C}$。

給定域擴張L/K，如果K-多項式f可以在L中分解成一次因子的積，則稱f在L中分裂。根據上述構造，總是可以找到一個足夠大的代數擴張K'/K使得f分裂；K'裡滿足此性質的「最小」子擴張稱作f在K上的分裂域。f在K上的任兩個分裂域至多差一個K上的同構（即：一個限制在K上的部分為恆等映射的環同構）。

正規擴張

主條目：正規擴張

正規擴張是研究多項式的根時所用到的概念。一個代數擴張L/K被稱作正規擴張，若且唯若它滿足下述三個等價條件之一：

• 固定代數閉包K^alg，任何K上的（即在K上是恆等映射的）域嵌入σ : L → K^alg，都有σ(L) = L。
• 存在一族在L上分裂的多項式$(f_{i})_{i\in I}\subset K[X]$，使得L/K是在K中添加它們的根生成的域擴張。
• K[X]中任何不可約多項式若在L裡有根，則在L裡分裂（全部的根都在L裡面）。

正規擴張可以看作是域擴張語言中對多項式的刻畫。一個正規擴張對應着K[X]里的一個多項式。

例子

• $x^{2}+1\,$ 在$\mathbb {R}$上的分裂域是$\mathbb {C}$。
• $x^{3}+2\,$ 在$\mathbb {Q}$上的分裂域是$\mathbb {Q} (e^{{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}},{\sqrt[{3}]{2}})$。
• $(x^{2}-2)(x^{2}-3)\,$ 在$\mathbb {Q}$上的分裂域是$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})$。
• $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$ 是正規域擴張， $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})/\mathbb {Q}$卻不是，因為後者並沒有包括$x^{3}-2\,$的所有根，欠了${\sqrt[{3}]{2}}e^{{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}},{\sqrt[{3}]{2}}e^{-{\frac {2}{3}}\pi {\rm {i}}}$。

可分擴張

主條目：可分擴張

設L/K為代數擴張，如果α的極小多項式沒有重根，則稱α可分（重根的存在性與域擴張的選取無關，可分性等價於(f, f' ) = 1，這可以直接在K中計算）。所有可分元素形成一個中間域K⊂F⊂L，[L : K]_s := [L_s : K]稱作L/K的可分次數。若L_s = ; L，則稱L/K是可分擴張。

當L/K是有限擴張時，定義不可分次數[L : K]_i := [L : K]/[L : K]_s。當基域的特徵為零時，任何代數擴張都是可分的；任何有限域的擴張也都是可分的。

參考文獻

• Serge Lang, Algebra (2002), Springer-Verlag. ISBN 0-387-95385-X

外部連結

• 簡介 Galois 理論 /李華介 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）