邏輯等價

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邏輯中,陳述pq邏輯等價的,如果它們有相同的邏輯內容。

pq語法等價的,如果每個都可以證明自另一個。pq語義等價的,如果它們在所有模型中有相同的真值。

邏輯等價經常混淆於實質等價。前者是在元語言中的一個陳述,斷言關於目標語言中的陳述pq的某個事情。而pq的實質等價(常寫為"pq")自身是在目標語言中另一個陳述。但它們是有聯繫的,pq是語法等價的,若且唯若pq是一個定理,而pq是語義等價的,若且唯若pq重言式

邏輯等價有時表示為pqpq。但是,後者記號也用於實質等價。

邏輯等價公式[編輯]

等價關係 關係名稱
p∧T≡p
p∨F≡p
Identity laws
恆等律
p∨TT
p∧FF
Domination laws
支配律
p∨p≡p
p∧p≡p
Idempotent laws
冪等律
﹁(﹁p)≡p Double negation laws
雙非律
p∨q≡q∨p
p∧q≡q∧p
Commutative laws
交換律
(p∨q)∨r≡p∨(q∨r)
(p∧q)∧r≡p∧(q∧r)
Associative laws
結合律
p∨(q∧r)≡(p∨q)∧(p∨r)
p∧(q∨r)≡(p∧q)∨(p∧r)
Distributive laws
分配律
﹁(p∧q)≡﹁p∨﹁q
﹁(p∨q)≡﹁p∧﹁q
De Morgan's laws
德摩根律
p∨(p∧q)≡p
p∧(p∨q)≡p
Absorption laws
吸收律
p∨﹁p≡T
p∧﹁p≡F
Negation laws
否定律

包括蘊涵的邏輯等價:

  1. p→q≡﹁p∨q
  2. p→q≡﹁q→﹁p
  3. p∨q≡﹁p→q
  4. p∧q≡﹁(p→﹁q)
  5. ﹁(p→q)≡p∧﹁q
  6. (p→q)∧(p→r)≡p→(q∧r)
  7. (p→q)∨(p→r)≡p→(q∨r)
  8. (p→r)∧(q→r)≡(p∨q)→r
  9. (p→r)∨(q→r)≡(p∧q)→r



包含雙蘊涵(邏輯雙條件)的邏輯等價:

  1. p↔q≡(p→q)∧(q→p)
  2. p↔q≡﹁p↔﹁q
  3. p↔q≡(p∧q)∨(﹁p∧﹁q)
  4. ﹁(p↔q)≡p↔﹁q

例子[編輯]

John高於Fred≡≡(等價於)≡≡Fred矮於John。

參見[編輯]