阿廷模

阿廷模是抽象代数中一类满足降链条件的模。

定义

以下固定一个环 $A$。设 $M$ 为左 $A$-模，当 $M$ 满足下列，则称 $M$ 为阿廷模：

对所有由 $M$ 的子模构成的降链 $M_{1}\supset M_{2}\supset \cdots$，存在 $N\in \mathbb {N}$ 使得 $i\geq \mathbb {N} \Rightarrow M_{i}=M_{i+1}$；换言之，此降链将会固定。

若将上述定义中的左模换成右模，可得到右阿廷模的定义。

性质

• 若 $A$ 是 $k$-代数，任何在 $k$ 上有限维的 $A$-模都是阿廷模。
• 若 $N\subset M$，且 $N$ 与 $M/N$ 皆为阿廷模，则 $M$ 为阿廷模。
• 阿廷模的子模与商模皆为阿廷模。
• 阿廷模与环的性质差异之一，在于有非诺特模的阿廷模，以下将给出一个例子：

令 $M:=\mathbb {Z} [1/p]/\mathbb {Z}$，视之为 $\mathbb {Z}$-模。升链

$\langle 1/p\rangle \subset \langle 1/p^{2}\rangle \subset \langle 1/p^{3}\rangle \cdots$

不会固定，因此 $M$ 并非诺特模。然而我们知道 $M$ 的任何子模皆形如 $\langle 1/n\rangle$，由此可知任何降链皆可写成

$\langle 1/n_{1}\rangle \supset \langle 1/n_{2}\rangle \supset \langle 1/n_{3}\rangle \cdots$

其中 $n_{i+1}|n_{i}$，故将固定，于是 $M$ 是阿廷模。

文献

• Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X