拉格朗日定理 (群論)

拉格朗日定理是群論的定理，利用陪集證明了子群的階一定是有限群的階的因數值。

定理

叙述：设H是有限群G的子群，则H的阶整除G的阶。

定理的证明是运用H在G中的左陪集。H在G中的每个左陪集都是一个等价类。将G作左陪集分解，由于每个等价类的元素个数都相等，都等于H的元素个数（H是H关于e的左陪集），因此H的阶（元素个数）整除G的阶，商是H在G中的左陪集个数，叫做H对G的指数，记作[G:H]。

定义二元关系 $\sim$ ： $a\sim b\Longleftrightarrow a^{-1}b\in H$ 。下面证明它是一个等价关系。

自反性： $\forall x\in G,~~x^{-1}x=e\in H~~\implies ~~x\sim x$
对称性： $\forall x,y\in G,~~x\sim y\implies x^{-1}y\in H$ ，因此 $y^{-1}x=(x^{-1}y)^{-1}\in H$ ，因此 $y\sim x\cdot$
传递性： $\forall x,y,z\in A,~~~(x\sim y~~\wedge ~~y\sim z)~~\implies ~~x^{-1}y\in H\wedge y^{-1}z\in H$ ，因此 $x^{-1}z=x^{-1}y\cdot y^{-1}z\in H$ ，因此 $x\sim z\cdot$ 。