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杨辉三角形

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永乐大典》一页:杨辉引用贾宪《释锁算书》中的贾宪三角形

杨辉三角形,又称贾宪三角形帕斯卡三角形海亚姆三角形,是二项式系数在的一种写法,形似三角形,在中国首现于南宋杨辉的《详解九章算术》得名,书中杨辉说明是引自贾宪的《释锁算术》,故又名贾宪三角形。前9层写出来如下:

        1
       1 1
      1 2 1
     1 3 3 1
    1 4 6 4 1
   1 5 10 10 5 1
  1 6 15 20 15 6 1
 1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1

杨辉三角形第n层(顶层称第0层,第1行,第n层即第n+1行,此处n为包含0在内的自然数)正好对应于二项式展开的系数。例如第二层1 2 1是幂指数为2的二项式展开形式的系数。

性质[编辑]

每个数是它左上方和右上方的数的和
  1. 杨辉三角以正整数构成,数字左右对称,每行由1开始逐渐变大,然后变小,回到1。
  2. 行的数字个数为个。
  3. 行的第个数字为组合数
  4. 行数字和为
  5. 除每行最左侧与最右侧的数字以外,每个数字等于它的左上方与右上方两个数字之和(也就是说,第行第个数字等于第行的第个数字与第个数字的和)。这是因为有组合恒等式:。可用此性质写出整个杨辉三角形。

历史[编辑]

朱世杰《四元玉鉴》中的“古法七乘方图”

波斯数学家Karaji和天文学家兼诗人欧玛尔·海亚姆(عمر خیام,Omar Khayyám)在10世纪都发现了这个三角形,而且还知道可以借助这个三角形找次根,和它跟二项式的关系。但他们的著作已不存。[1]

11世纪北宋数学家贾宪发明了贾宪三角,并发明了增乘方造表法,可以求任意高次方的展开式系数。贾宪还对贾宪三角表(古代称数字表为“立成”)的构造进行描述。[2]。贾宪的三角表图和文字描写,仍保存在大英博物馆所藏《永乐大典》卷一万六千三百四十四。

13世纪中国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》里解释这种形式的数表,并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》[3]

1303年元代数学家朱世杰在《四元玉鉴》卷首绘制《古法七乘方图》[4]

意大利人称之为“塔塔利亚三角形”(Triangolo di Tartaglia)以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚

布莱士·帕斯卡的著作Traité du triangle arithmétique(1655年)介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果,并以此解决一些概率论上的问题,影响面广泛,Pierre Raymond de Montmort(1708年)和亚伯拉罕·棣莫弗(1730年)都用帕斯卡来称呼这个三角形。

历史上曾经独立绘制过这种图表的数学家:

  • Karaji 和 Omar Khayyám 波斯 10世纪(图文无存)
  • 贾宪 中国北宋 11世纪 《释锁算术》 (图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》)
  • 杨辉 中国南宋 1261《详解九章算法》记载之功(图文现存大英博物馆所藏《永乐大典》)
  • 朱世杰 中国元代 1299《四元玉鉴》级数求和公式
  • 阿尔·卡西 阿拉伯 1427《算术的钥匙》 (现存图文)
  • 阿皮亚纳斯 德国 1527
  • 施蒂费尔 德国 1544《综合算术》二项式展开式系数
  • 薛贝尔 法国 1545
  • B·帕斯卡 法国 1654《论算术三角形》

中国数学家的研究[编辑]

中国贾宪是贾宪三角的发明人,贾宪/杨辉称之为“释锁求廉本源”,朱世杰称之为“古法七乘方图”(1303年),明代数学家吴敬《九章详注比类算法大全》称之为“开方作法本源”(1450年);明王文素算学宝鉴》称之为“开方本源图”(1524年);明代程大位算法统宗》称之为“开方求廉率作法本源图”(1592年)。 清代梅文鼎《少广拾遗》称之为“七乘府算法”(1692年);清代孔广森《少广正负术》称之为“诸乘方乘率表”;焦循《加减乘除释》称之为“古开方本原图”;刘衡《筹表开诸乘方捷法》称之为“开方求廉率图”;项名达《象数一原》称之为“递加图”。伟烈亚力《数学启蒙》称之为“倍廉法表”;李善兰《垛积比类》称之为“三角垛表”。近代中算史家李俨称之为“巴斯噶三角形”,但根据《永乐大典》指出“巴斯噶三角形”最早由贾宪使用。[5]。著名数学家华罗庚,在1956年写的一本通俗读物《从杨辉三角谈起》[6],将贾宪的《开方作法本源》称为“杨辉三角”,首次将“巴斯噶三角形”回归宋代数学家名下;此后的中学数学教科书和许多数学科普读物都跟随之[7]。另一方面,专业的中国数学史著作,都用“贾宪三角”这个称呼。[8][9]

一个数在杨辉三角出现的次数[编辑]

由1开始,正整数在杨辉三角形出现的次数为:,1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 2, 2, 2, 2, 4, ... (OEIS:A003016)。最小而又大于1的数在贾宪三角形至少出现n次的数为2, 3, 6, 10, 120, 120, 3003, 3003, ... (OEIS:A062527

  • 除了1之外,所有正整数都出现有限次。
  • 只有2出现刚好一次。
  • 6,20,70等出现三次。
  • 出现两次和四次的数很多。
  • 还未能找到出现刚好五次或七次的数。
  • 120,210,1540等出现刚好六次。(OEIS:A098565
    • 因为丢番图方程

      有无穷个解[10],所以出现至少六次的数有无穷个多。
    • 其解答,是
解析失败 (带SVG或PNG备选的MathML(建议用于现代的浏览器和辅助工具):从服务器“/mathoid/local/v1/”返回无效的响应(“Math extension cannot connect to Restbase.”):): n=F_{{2i+2}}F_{{2i+3}}-1,\,
    • 其中表示第个斐波那契数()。
  • 3003是第一个出现八次的数。

参考文献[编辑]

  1. ^ Victor J. Katz, editor, The Methematics of Egypt, Mesopotamia,China,India, and Islam, A Source book p518, Princeton University Press 2007
  2. ^ 郭书春著 《中国科学技术史·数学卷》第十五章 《唐中叶至元中叶熟悉概论》第357页 (贾宪)创造《开发作法本源》即贾宪三角 科学出版社 2010
  3. ^ 永乐大典》卷一万六千三百四十四
  4. ^ 朱世杰 原著 李兆华校证 《四元玉鉴校证》卷首《古法七乘方图》 第58页 科学出版社 2007 ISBN 978-7-03-020112-6
  5. ^ 李俨 《中算家的巴斯噶三角形研究》《李俨.钱宝琮科学史全集》卷6,215-230页
  6. ^ 华罗庚著 《从杨辉三角谈起》 《数学通报丛书》科学出版社 1956年10月
  7. ^ 郭书春 《中国科学技术史·数学卷》422页 第十八章第二节 《贾宪三角》,科学出版社 2010
  8. ^ 吴文俊主编 《中国数学史大系》第五卷 704页
  9. ^ 郭书春 《中国科学技术史·数学卷》 第十八章第二节 《贾宪三角》,科学出版社 2010
  10. ^ Singmaster, David, "Repeated Binomial Coefficients and Fibonacci numbers", Fibonacci Quarterly, volume 13, number 4, pages 296—298, 1975.

外部链接[编辑]

参见[编辑]