巴拿赫代數

泛函分析中，得名於斯特凡·巴拿赫的巴拿赫代數是實數或複數（或非阿基米德完備賦范域）上的結合代數A，同時也是巴拿赫空間，即在範數導出的度量中完備的賦范空間。範數要滿足 $\|x\,y\|\ \leq \|x\|\,\|y\|\quad \forall x,y\in A.$

這確保了乘法運算連續。

若巴拿赫代數對乘法有範數為1的單位元，則稱其是含么的（unital）。若其乘法是可交換的，則稱其可交換。任意巴拿赫代數A（無論有無單位元）都可等距同構地嵌入含么巴拿赫代數 $A_{e}$ ，從而形成 $A_{e}$ 的閉理想。通常會先驗地假設所考慮的代數是含么的：因為可以先考慮 $A_{e}$ ，再在原始代數中應用結果，來發展許多理論。不過並非總如此，例如無法在巴拿赫代數中定義不含單位元的三角函數。

實巴拿赫代數的理論可能異於復巴拿赫代數，例如非平凡復巴拿赫代數中元素的譜不會是空的，而實巴拿赫代數中，某些元素的譜可能是空的。

巴拿赫代數也可以定義在P進數域上。這是P進數分析的一部分。

例子

巴拿赫代數的典型例子是 $C_{0}(X)$ ，即定義在局部緊豪斯多夫空間X上在無窮遠處消失的（復值）連續函數空間。若且唯若X是緊空間， $C_{0}(X)$ 含么。共軛複數是對合，因此 $C_{0}(X)$ 實際上是C*-代數。更一般地說，C*-代數都是巴拿赫代數。

實數（或複數）集是巴拿赫代數，範數為絕對值。
若給所有實數或複數n階方陣集合配備服從乘法範數，就成為含么巴拿赫代數。
取巴拿赫空間 $\mathbb {R} ^{n}$ （或 $\mathbb {C} ^{n}$ ），範數為 $\|x\|=\max _{}|x_{i}|$ ，並定義乘法分量形式： $\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)=\left(x_{1}y_{1},\ldots ,x_{n}y_{n}\right).$
四元數形成了4維實巴拿赫代數，範數為四元數的絕對值。
定義在某集合（具有逐點乘和上確範數）上的有界實值或復值函數的代數是含么巴拿赫代數。
某局部緊空間（具有逐點乘和上確範數）上的有界連續實值或復值函數的代數是巴拿赫代數。
巴拿赫空間E（以函數複合為乘法，以算子範數為範數）上的連續線性算子的代數是含么巴拿赫代數。E上所有緊算子的集合是巴拿赫代數，也是閉理想。若 $\dim E=\infty$ ，則沒有單位元。^[1]
若G是局部緊豪斯多夫拓撲群， $\mu$ 是其哈爾測度，則G上所有 $\mu$ 可積函數的巴拿赫空間 $L^{1}(G)$ 在卷積 $xy(g)=\int x(h)y\left(h^{-1}g\right)d\mu (h),\ \forall x,y\in L^{1}(G)$ 下成為巴拿赫代數。^[2]
一致代數：巴拿赫代數，是復代數 $C(X)$ 的子代數，具有上確範數，包含常數並分離了X的點（必須是緊豪斯多夫空間）。
自然巴拿赫函數代數：一致代數，其所有特徵都在X的點上取值。
C*-代數：某希爾伯特空間上有界算子的代數的閉*-子代數，是巴拿赫代數。
測度代數：包含某局部緊群上所有拉東測度的巴拿赫代數，測度之積由卷積給出。^[2]
四元數代數 $\mathbb {H}$ 是實巴拿赫代數，不是復代數，因為四元數的中心是實數。
仿射體代數（affinoid algebra）是非阿基米德域上的一種巴拿赫代數，是剛性解析幾何的基本構件。

性質

一些由冪級數定義的初等函數可在任意含么巴拿赫代數中定義，如指數函數和三角函數，及更一般的任意整函數（特別地，指數映射可用於定義抽象索引群）。幾何級數公式在一般含么巴拿赫代數中仍有效。二項式定理對巴拿赫代數中兩個交換元也成立。任何含么巴拿赫代數中的可逆元集合都是開集，其上的逆運算是連續的（因此是同胚），所以形成了乘法下的拓撲群。^[3]

若巴拿赫代數有么元 $\mathbf {1}$ ，則 $\mathbf {1}$ 不可能是交換子；即 $xy-yx\neq \mathbf {1} ,\ \forall x,y\in A$ 。這是因為 $xy,\ yx$ 若不是 $0$ ，則具有相同的譜。

上述例子給出的各種函數代數具有與標準代數（如實數）迥異的性質，例如：

是除代數的實巴拿赫代數同構於實數、複數或四元數。因此，只有是除代數的復巴拿赫代數是復形。（這就是蓋爾范德-馬祖爾定理）
沒有零除子的含么實巴拿赫代數的主理想都是閉的，代數同構於實數、複數與四元數。^[4]
沒有零除子的交換實含么諾特巴拿赫代數同構於實數或複數。
交換實含么諾特巴拿赫代數（可有零除子）是有限維的。
巴拿赫代數中的永久奇異元是零的拓撲除子，也就是說，考慮巴拿赫代數A的擴張B，使一些在給定代數A中奇異的元素，在B中有乘法逆元。A中零的拓撲除子在A的任意巴拿赫擴張B中都是永久奇異的。

譜理論

複數域上的含么巴拿赫代數為譜理論提供了一個一般環境。元素 $x\in A$ 的譜記作 $\sigma (x)$ ，包含所有使 $x-\lambda \mathbf {1}$ 在A中不可逆的復純量 $\lambda$ 。任意元素x的譜是 $\mathbb {C}$ 中半徑為 $\|x\|$ 、圓心在 $0$ 的閉圓盤的閉子集，於是也是緊的。另外，元素x的譜 $\sigma (x)$ 也非空，滿足譜半徑公式： $\sup\{|\lambda |:\lambda \in \sigma (x)\}=\lim _{n\to \infty }\|x^{n}\|^{1/n}.$

給定 $x\in A$ ，全純函數微積分允許為在 $\sigma (x)$ 的鄰域全純的任意函數f定義 $f(x)\in A$ ；此外，譜映射定理成立：^[5] $\sigma (f(x))=f(\sigma (x)).$

若巴拿赫代數A是復巴拿赫空間X上的有界線性算子的代數 $L(X)$ （例如方陣的代數），則A中的譜與算子理論中的譜重合。對 $f\in C(X)$ （緊豪斯多夫空間X），可見： $\sigma (f)=\{f(t):t\in X\}.$

C*-代數的正規元素x的範數與譜半徑重合，這推廣了正規算子的類似事實。

令A為復含么巴拿赫代數，當中非零元x都可逆（是除代數）。 $\forall a\in A$ ，都有 $\lambda \in \mathbb {C}$ 使 $a-\lambda \mathbf {1}$ 不可逆（因為a的譜非空），於是 $a=\lambda \mathbf {1} :$ 代數A自然同構於 $\mathbb {C}$ （蓋爾范德-馬祖爾定理的複數情形）。

理想與特徵

令A為 $\mathbb {C}$ 上的含么交換巴拿赫代數。由於A是含么交換環，A的不可逆元屬於A的某極大理想。由於極大理想 ${\mathfrak {m}}\in A$ 是閉的， $A/{\mathfrak {m}}$ 是巴拿赫代數且是域，且由蓋爾范德-馬祖爾定理，A的最大理想集與非零同胚 $A\to \mathbb {C}$ 集 $\Delta (A)$ 之間有雙射。集合 $\Delta (A)$ 稱作A的「結構空間」或「特徵空間」，元素為「特徵」。

特徵 $\chi$ 是A上的線性泛函，是乘法函數（ $\chi (ab)=\chi (a)\chi (b)$ 且滿足 $\chi (\mathbf {1} )=1$ 。）每個特徵都是 $A\to \mathbb {C}$ 且自動連續，因為特徵的核是最大理想，是閉的；而且範數（即算子範數）為1。裝備了A上逐點收斂拓撲（即由 $A^{*}$ 的弱*-拓撲誘導的拓撲）後，特徵空間 $\Delta (A)$ 是豪斯多夫緊空間。

$\forall x\in A,$ $\sigma (x)=\sigma ({\hat {x}})$ q在 ${\hat {x}}$ 是x的蓋爾范德表示，定義如下： ${\hat {x}}$ 是連續函數 $\Delta (A)\to \mathbb {C}$ ，由 ${\hat {x}}(\chi )=\chi (x)$ 給出。 ${\hat {x}}$ 的譜也是作為緊空間 $\Delta (A)$ 上復連續函數的代數 $C(\Delta (A))$ 的元素的譜。顯式地寫， $\sigma ({\hat {x}})=\{\chi (x):\chi \in \Delta (A)\}.$

作為代數，若且唯若含么交換巴拿赫代數的蓋爾范德表示具有平凡核，其是半單的（即其雅各布森根為零）。這種代數的重要例子是交換C*-代數。事實上，若A是交換含么C*-代數，則其蓋爾范德表示是 $A,\ C(\Delta (A))$ 間的等距*-同構。^[a]

巴拿赫*-代數

巴拿赫*-代數A是複數域上的巴拿赫代數，以及映射 ${}^{*}:A\to A$ ，滿足如下性質：

$\forall x\in A,\ \left(x^{*}\right)^{*}=x$ （於是映射是對合）
$\forall x,y\in A,\ (x+y)^{*}=x^{*}+y^{*}$
$\forall \lambda \in \mathbb {C} ,\ x\in A,\ (\lambda x)^{*}={\bar {\lambda }}x^{*}$ ，其中 ${\bar {\lambda }}$ 表示 $\lambda$ 的共軛複數
$\forall x,y\in A,\ (xy)^{*}=y^{*}x^{*}$

也就是說，巴拿赫*-代數是 $\mathbb {C}$ 上的巴拿赫代數，也是*-代數。

在大多數自然例子中，還需要對合是等距的，即 $\|x^{*}\|=\|x\|\quad {\text{ for all }}x\in A.$ 有人把這性質納入了巴拿赫*-代數的定義。

巴拿赫*-代數滿足 $\|x^{*}x\|=\|x^{*}\|\|x\|$ 是C*-代數。

另見

註釋

^ 證明：由於交換C*-代數的元素都是正規的，所以蓋爾范德表示是等距的；特別是，其是單射，像是閉的。蓋爾范德表示的像由魏爾施特拉斯逼近定理是稠密的。

參考文獻

^ Conway 1990，Example VII.1.8.
^ ^2.0 ^2.1 Conway 1990，Example VII.1.9.
^ Conway 1990，Theorem VII.2.2.
^ García, Miguel Cabrera; Palacios, Angel Rodríguez. A New Simple Proof of the Gelfand-Mazur-Kaplansky Theorem. Proceedings of the American Mathematical Society. 1995, 123 (9): 2663–2666 [2023-12-22]. ISSN 0002-9939. JSTOR 2160559. doi:10.2307/2160559. （原始內容存檔於2023-12-25）.
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[6] 證明：由於交換C*-代數的元素都是正規的，所以蓋爾范德表示是等距的；特別是，其是單射，像是閉的。蓋爾范德表示的像由魏爾施特拉斯逼近定理是稠密的。

[1] Conway 1990，Example VII.1.8.

[harvnb_conway_1990_example_VII.1.9.-2] 2.0 ^2.1 Conway 1990，Example VII.1.9.

[3] Conway 1990，Theorem VII.2.2.

[4] García, Miguel Cabrera; Palacios, Angel Rodríguez. A New Simple Proof of the Gelfand-Mazur-Kaplansky Theorem. Proceedings of the American Mathematical Society. 1995, 123 (9): 2663–2666 [2023-12-22]. ISSN 0002-9939. JSTOR 2160559. doi:10.2307/2160559. （原始內容存檔於2023-12-25）.

[5] Takesaki 1979，Proposition 2.8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[a]

閱論編泛函分析
集合 / 子集	絕對凸集吸收集平衡集有界集 (拓撲向量空間)（英語：Bounded set (topological vector space)）凸集徑向集星形域對稱集凸錐
拓撲向量空間	巴拿赫空間歐幾里得空間希爾伯特空間索伯列夫空間局部凸（英語：Locally convex topological vector space）賦範向量空間（範數）擬賦范空間自反空間拓撲張量積（英語：Topological tensor product） (希爾伯特空間中) 速降函數空間
映射拓撲	對偶空間算子拓撲弱拓撲（英語：Weak topology）強拓撲（英語：Strong topology）拓撲的一致收斂（英語：Topology of uniform convergence）
線性算子	伴隨雙線性形式有界 / 無界連續線性緊 Fredholm（英語：Fredholm operator）希爾伯特-施密特泛函正規核型（英語：Nuclear operator）自伴嚴格奇異算子（英語：Strictly singular operator）跡類有限秩轉置（英語：Transpose of a linear map）酉 / 么正
集合運算	代數內部內部閔可夫斯基和極性集
算子理論	巴拿赫代數 C*-代數譜 (泛函分析) （譜半徑）譜理論（譜定理投影值測度）極分解奇異值分解
定理	阿爾澤拉-阿斯科利定理巴拿赫-阿勞格魯定理巴拿赫-馬祖爾定理（英語：Banach–Mazur theorem）貝爾綱定理貝塞爾不等式柯西-施瓦茨不等式閉值域定理閉圖像定理哈恩-巴拿赫定理角谷不動點定理不變子空間問題 Riesz延拓定理（英語：M. Riesz extension theorem）開映射定理拉克斯-米爾格拉姆定理帕塞瓦爾恆等式肖德爾不動點定理（英語：Schauder fixed point theorem）
分析	導數 (弗雷歇導數加托導數泛函導數) 積分 (博赫納積分佩蒂斯積分（英語：Pettis integral）) 函數演算 (全純函數演算連續函數演算博雷爾函數演算) 反函數定理向量測度弱可測函數

閱論編巴拿赫空間
種類	阿斯普倫德空間（英語：Asplund space）巴拿赫空間巴拿赫空間列表（英語：List of Banach spaces）巴拿赫格（英語：Banach lattice）格羅滕迪克空間（英語：Grothendieck space）希爾伯特空間內積空間極化恆等式（多項式）自反空間里斯空間（英語：Riesz space） L半內積（英語：L-semi-inner product）（B凸空間（英語：B-convex space））嚴格凸空間（英語：Strictly convex space）一致凸空間（英語：Uniformly convex space）一致光滑空間（英語：Uniformly smooth space）（單射張量積（英語：Injective tensor product）射影張量積（英語：Projective tensor product））拓撲張量積（英語：Topological tensor product）（希爾伯特空間的張量積（英語：Tensor product of Hilbert spaces））
巴拿赫空間是：	桶空間（英語：Barrelled space）完備拓撲向量空間（英語：Complete topological vector space） F空間（英語：F-space）弗雷歇空間（英語：Fréchet space）局部凸拓撲向量空間（英語：Locally convex topological vector space）度規函數麥基空間（英語：Mackey space）可度量化拓撲向量空間（英語：Metrizable topological vector space）賦范範數擬賦范空間
函數空間拓撲	巴拿赫-馬祖爾緊統（英語：Banach–Mazur compactum）對偶拓撲（英語：Dual topology）對偶空間對偶範數算子拓撲超弱拓撲弱拓撲（英語：Weak topology）弱算子拓撲強拓撲（英語：Strong topology）強對偶拓撲（英語：Strong dual topology）強算子拓撲超強拓撲（英語：Ultrastrong topology）線性映射空間拓撲（英語：Topologies on spaces of linear maps）
線性映射	埃爾米特伴隨雙線性映射雙線性形式半雙線性形式無界、有界算子閉線性算子緊算子（不（英語：Discontinuous linear map））連續線性算子稠密線性算子（英語：Densely defined operator）弗雷德霍姆弗雷德霍姆核（英語：Fredholm kernel）弗雷德霍姆算子（英語：Fredholm operator）希爾伯特-施密特算子線性泛函正線性泛函（英語：Positive linear functional）偽單調算子（英語：Pseudo-monotone operator）正規算子核型算子（英語：Nuclear operator）自伴算子嚴格奇異算子（英語：Strictly singular operator）跡類算子么正算子
算子理論	巴拿赫代數 C-代數算子空間譜 C-代數#譜譜半徑譜理論常微分方程譜理論（英語：Spectral theory of ordinary differential equations）譜定理極分解奇異值分解
定理	安德森-卡德茨定理（英語：Anderson–Kadec theorem）巴拿赫-阿勞格魯定理巴拿赫-馬祖爾定理（英語：Banach–Mazur theorem）開映射定理一致有界性原理貝塞爾不等式柯西-施瓦茨不等式閉圖像定理閉值域定理埃伯林-史穆連定理（英語：Eberlein–Šmulian theorem）弗賴登塔爾譜定理（英語：Freudenthal spectral theorem）蓋爾范德-馬祖爾定理（英語：Gelfand–Mazur theorem）蓋爾范德-奈馬克定理（英語：Gelfand–Naimark theorem）戈德斯坦定理（英語：Goldstine theorem）哈恩-巴拿赫定理超平面分離定理角谷不動點定理克林-米爾曼定理（英語：Krein–Milman theorem）羅蒙諾索夫不變子空間麥基-阿倫斯定理（英語：Mackey–Arens theorem）馬祖爾引理（英語：Mazur's lemma）里斯擴張定理（英語：M. Riesz extension theorem）帕塞瓦爾恆等式里斯引理（英語：Riesz's lemma）里斯表示定理羅賓遜-烏爾塞斯庫定理（英語：Ursescu theorem#Robinson–Ursescu theorem）紹德爾不動點定理（英語：Schauder fixed-point theorem）
分析	維納空間巴拿赫流形（英語：Banach manifold）巴拿赫叢（英語：Banach bundle）博赫納空間（英語：Bochner space）凸級數（英語：Convex series）弗雷歇空間#微分（英語：Differentiation in Fréchet spaces）導數弗雷歇導數加托導數泛函導數無窮維全純（英語：Infinite-dimensional holomorphy）准導數（英語：Quasi-derivative）積分博赫納積分貝蒂斯積分#與鄧福德積分的關係（英語：Dunford integral）貝蒂斯積分（英語：Pettis integral）正則化積分（英語：Regulated integral）佩利-維納積分（英語：Paley–Wiener integral）泛函微積分（英語：Functional calculus）博雷爾泛函微積分（英語：Borel functional calculus）連續泛函微積分（英語：Continuous functional calculus）全純泛函微積分（英語：Holomorphic functional calculus）測度無窮維勒貝格測度（英語：Infinite-dimensional Lebesgue measure）射影值測度（英語：Projection-valued measure）向量測度弱可測函數 / 強可測函數（英語：Strongly measurable functions）
集合類型	絕對凸集吸收集仿射空間平衡集有界集凸集凸錐_（子集）徑向集徑向凸/星形對稱集環帶多面體#全對稱多胞形（英語：Zonotope）
子集 / 集合運算	仿射包（英語：Affine hull）代數內部（相對內部（英語：Relative interior）、准相對內部）分界點凸包極點內部線性生成空間閔可夫斯基和極集（英語：Polar set）
示例	絕對連續 $ba(\Sigma )$ （英語：ba space） c空間（英語：c space） BK空間（英語：BK-space）貝索夫空間（英語：Besov space）奧爾利奇空間（英語：Orlicz space）有界變差 Bs空間（英語：Bs space）哈代空間希爾伯特空間墨瑞-坎帕納圖空間（英語：Morrey–Campanato space） Lp空間速降函數空間西格爾-巴格曼空間（英語：Segal–Bargmann space）序列空間（英語：Sequence space）索伯列夫空間索博列夫不等式
應用	微分算子有限元法量子力學的數學表述常微分方程譜理論（英語：Spectral theory of ordinary differential equations）