代数整数

各种各样的数

基本

$\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$

正数 $\mathbb {R} ^{+}$
自然数 $\mathbb {N}$
正整数 $\mathbb {Z} ^{+}$
小数
 有限小数
 无限小数
 循环小数
 有理数 $\mathbb {Q}$
代数数 $\mathbb {A}$
实数 $\mathbb {R}$
复数 $\mathbb {C}$
高斯整数 $\mathbb {Z} [i]$

负数 $\mathbb {R} ^{-}$
整数 $\mathbb {Z}$
负整数 $\mathbb {Z} ^{-}$
分数
 单位分数
 二进分数
 规矩数
 无理数
 超越数
 虚数 $\mathbb {I}$
二次无理数
 艾森斯坦整数 $\mathbb {Z} [\omega ]$

延伸

二元数
 四元数 $\mathbb {H}$
八元数 $\mathbb {O}$
十六元数 $\mathbb {S}$
超实数 $^{*}\mathbb {R}$
大实数
 上超实数

双曲复数
 双复数
 复四元数
共四元数（英语：Dual quaternion）
超复数
 超数
 超现实数

其他

质数 $\mathbb {P}$
可计算数
 基数
 阿列夫数
 同余
 整数数列
 公称值

规矩数
 可定义数
 序数
 超限数
 $p$ 进数
 数学常数

圆周率 $\pi =3.14159265$ …
自然对数的底 $e=2.718281828$ …
虚数单位 $i={\sqrt {-{1}}}$
无限大 $\infty$

在数学里，代数整数（algebraic integer）是复数中的一类。一个复数α是代数整数当且仅当它是某个个整系数的首一多项式 $P(x)$ 的根。其中首一（英文：monic）意谓最高幂次项的系数是1。

因此，所有代数整数都是代数数，但并非所有代数数都是代数整数。所有代数整数构成一个环，通常记作 $\mathbb {A}$ 。

如果 $P(x)$ 是整系数本原多项式（即系数的最大公因数是1的多项式），但非首一多项式，则 $P$ 的根都不是代数整数。

定义

以下是代数整数四种相互等价的定义。设 $K$ 为代数数域（有理数域 $\mathbb {Q}$ 的有限扩张）。根据本原元定理， $K$ 可以写成 $K=\mathbb {Q} (\theta )$ 的形式。其中 $\theta \in \mathbb {C}$ 是某个代数数。设有 $\alpha \in K$ ，则 $α$ 是代数整数当且仅当以下命题之一成立：

存在整系数多项式： $P=X^{m}+a_{1}X^{m-1}+\cdots +a_{m-1}X+a_{m}\in \mathbb {Z} [X]$ ，使得 $P(\alpha )=0$ 。
$α$ 在 $\mathbb {Q}$ 上的极小首一多项式是整系数多项式。
$\mathbb {Z} [\alpha ]$ 是有限生成的 $\mathbb {Z}$ $-$ 模。
存在有限生成的 $\mathbb {Z}$ $-$ 子模： $M\subset \mathbb {C}$ ，使得 $\alpha M\subseteq M$ 。

例子

有理数域 $\mathbb {Q}$ 中的代数整数就是整数。换句话说， $\mathbb {A}$ 和 $\mathbb {Q}$ 交集是整数环 $\mathbb {Z}$ 。这可以用整系数多项式的一个简单性质证明。如果一个整系数多项式

P(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{m}x^{m}

有一个根是有理数：

\scriptstyle r={\frac {p}{q}}

，其中p、q是互素的整数，那么必然有：分母q 整除

a_{m}

，以及分子p 整除

a_{0}

。因此，由于代数整数是某个首一多项式的根，如果它是有理数，那么它的分母整除多项式的最高幂次项，也就是说整除1。所以这个有理数的分母是1，即是说它是整数。反过来，所有的整数n都是整系数首一多项式

\displaystyle x-n

的根，所以是代数整数。

一个给定的代数数域 $\mathbb {K}$ 与 $\mathbb {A}$ 的交集称为这个数域的（代数）整数环，记作 ${\mathcal {O}}_{K}$ 。这个整数环中的代数整数不再只是整数。比如说，给定一个数域： $\mathbb {K} =\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ ，那么对应的整数环中不仅有整数，还有 ${\sqrt {2}}$ ，因为 ${\sqrt {2}}$ 是首一多项式 $\scriptstyle x^{2}-2$ 的根。

$\scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 不是代数整数。这是因为 $\scriptstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}$ 在有理数域上的最小多项式是 $\scriptstyle 2x^{2}-1$ ，不是一个首一多项式。

$\scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ 是一个代数整数。它是多项式 $\scriptstyle x^{2}-x-1$ 的根。一般来说，如果整数 $\scriptstyle d$ 除以4余1，那么 $\scriptstyle {\frac {1+{\sqrt {d}}}{2}}$ 也是代数整数，因为它是多项式 $\scriptstyle x^{2}-x-{\frac {d-1}{4}}$ 的根。

给定素数 $p$ ， $p$ 次单位根 $\zeta _{p}$ 也是一个代数整数，因为是首一多项式 $\displaystyle x^{p}-1=0$ 的根。实际上， $p$ 次分圆域 $\mathbb {Q} (\zeta _{p})$ 的整数环就是 $\mathbb {Z} [\zeta _{p}]$ 。

性质

两个代数整数的和是一个代数整数，他们的差及积也是。这时它们满足的首一多项式可以用结式表达；但他们的商就不一定是代数整数。
一个以代数整数为系数的首一多项式的根也是代数整数。换句话说，代数整数构成一个环，并且在任何代数扩张下是整闭的。
任何从整数出发，透过和、积与开方得到的数都是代数整数，但并非所有代数整数都可依此构造，例如，大多数的五次代数整数都无法透过这种方式构造。
代数整数是裴蜀整环。

参见

参考来源

Daniel A. Marcus, Number Fields（数域）, third edition, Springer-Verlag, 1977