有序交换群

定义

有序交换群系指一对 $(\Gamma ,>)$，其中 $\Gamma$ 为交换群，$>$ 为其上的一个二元关系，且满足如下条件：

• 若 $a<0$，则 $-a>0$。
• 若 $a,b>0$，则 $a+b>0$。

另一种等价的描述是：给定一个子集 $\Gamma _{+}\subset \Gamma$，使得 $\Gamma _{+}$ 对加法封闭，且 $\Gamma =\Gamma _{+}\cup \{0\}\cup -\Gamma _{+}$。

若对于每个 $x\in \Gamma$ 都存在 $n\in \mathbb {Z}$ 使得 $n\cdot 1>x$，则称 $(\Gamma ,>)$ 满足阿基米德性质。

范例与基本性质

• 由上述公理可推出：对于每个 $x\in \Gamma ,x\neq 0$ 都有 $x^{2}>0$。
• $\mathbb {Z} ,\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{*}$ 都是有序交换群且满足阿基米德性质。
• 若 $(\Gamma ,>_{1}),(\Gamma _{2},>_{2})$ 为有序交换群，则 $\Gamma _{1}\times \Gamma _{2}$ 配合其字典序也构成一个有序交换群。
• $(\Gamma ,>)$ 满足阿基米德性质的充要条件是它可以嵌入 $(\mathbb {R} ,+)$。

参见

• 序理论
• 环