在數學中,局部環是只有一個極大理想的交換環。
局部環的概念由 Wolfgang Krull 於1938年引入,稱之為 Stellenringe,英譯 local ring 源自扎裡斯基。
設
為交換含幺環。若
僅有一個極大理想
,則稱
(或
)為局部環。域
稱為
的剩餘域。
若
中僅有有限個極大理想,則稱之為半局部環。
一個局部環
上帶有一個自然的
-進拓撲,使得
成為拓撲環;其開集由
生成。當
為諾特環時,可證明
為郝斯多夫空間,且所有理想皆是閉理想。
設
為局部環,環同態
被稱為局部同態,若且唯若
。
- 域是局部環。
- 形式冪級數環
是局部環,其中
是個域。極大理想是
。
- 取係數在
或
上,原點附近收斂半徑為正的冪級數,它構成一個局部環,極大理想表法同上。
- 凡賦值環皆為局部環。
- 設
為任意交換環,
為質理想,則相應的局部化
是局部環;這也是局部環應用的主要場合。若
已是局部環,則
。
- 局部環的商環仍是局部環。
局部環意在描述一個點附近的函數「芽」。設
為拓撲空間,
或
,且
。考慮所有資料
,其中
是
的一個開鄰域,而
是連續函數。引入等價關係:
且
是
的開鄰域。
換言之,若兩個函數在
附近一致,則視之等同。上述等價類在逐點的加法及乘法下構成一個環
,其元素稱作在
的連續函數芽,它體現了連續函數在
附近的行為。若
滿足
,則存在一個
的開鄰域
及連續函數
,使得
且
恆非零,因此可定義乘法反元素
。於是
是局部環,其唯一的極大理想是所有在
點取零的函數,剩餘域則是
。
類似想法可施於微分流形、解析流形或複流形,稍作修改後亦可推廣至代數簇與概形。
在代數幾何與複幾何中,假設適當的有限性條件(例如凝聚性), 若一陳述對某一點的芽成立,則在該點的某個開鄰域上皆成立;就此而論,局部環集中表現了一點附近的局部性質。
在交換代數中,局部化的技術往往可將問題化約到局部環上;因此交換代數的許多定義與結果都落在局部環的框架內。
一個含么環
被稱作局部環,若且唯若它滿足下述等價條件:
- R 僅有一個極大左理想。
- R 僅有一個極大右理想。
,且任兩個非可逆元素的和仍為非可逆元素。
,且對任何元素
,
或
必有一者可逆。
,若
中某個有限和是可逆元素,則其中某項必可逆。
當上述任一性質成立,則下述三者等同:
對於交換環,上述定義化為交換局部環的原始定義。