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二十四面體

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二十四面體
部分的二十四面體
一種星形二十四面體[1][2]
一種星形二十四面體[1][2]
四角化六面體
四角化六面體
偽鳶形二十四面體(英语:Pseudo-deltoidal icositetrahedron)
偽鳶形二十四面體英语Pseudo-deltoidal icositetrahedron
三側錐正十二面體
三側錐正十二面體

幾何學中,二十四面體是指有24個面的多面體[3],在二十四面體當中沒有任何一個形狀是正多面體,換言之即正二十四面體並不存在,但仍有許多由正多邊形組成的二十四面體,例如三側錐正十二面體英语Triaugmented dodecahedron五角錐球狀屋頂,也有一些接近球狀但並非由正多邊形組成的二十四面體,其中對稱性較高的是三角化八面體和鳶形二十四面體等卡塔蘭立體、對稱性較低的是部分詹森多面體對偶多面體,例如雙四角帳塔反角柱英语Gyroelongated square bicupola的對偶和異相雙四角帳塔柱的對偶。此外要構成二十四面體至少要有14個頂點[4]

常見的二十四面體

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常見的二十四面體中有一些柱體錐體以及部份的詹森多面體卡塔蘭立體

二十三角錐

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二十三角錐是一種底面為二十三邊形的錐體,為二十四面體的一種,具有24個面、46條邊和24個頂點,其對偶多面體是自己本身[5]。正二十三角錐是一種底面為正二十三邊形的二十三角錐,在施萊夫利符號中可以用{}∨{23}來表示。底邊長為、高為的正二十三角錐體積和表面積[5]

二十二角柱

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二十二角柱是一種底面為二十二邊形的柱體,是二十四面體的一種,由24個面和66條邊和44個頂點組成。正二十二角柱代表每個面都是正多邊形的二十二角柱,其每個頂點都是2個正方形和1個二十二邊形的公共頂點,頂點圖表示。其在施萊夫利符號中可以用{22}×{}或t{2,22}來表示,在考克斯特符號英语Coxeter-Dynkin diagram中可以用node_1 22 node 2 node_1 來表示,在威佐夫符號英语Wythoff symbol中可以利用2 22 | 2來表示,在康威多面體表示法中可以利用P22來表示。底邊長為、高為的正二十二角柱體積和表面積[6]

十一角反稜柱

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十一角反稜柱

十一角反稜柱是指底面為十一邊形反稜柱,由24個面、44條邊和22個頂點組成。正十一角反稜柱代表每個面都是正多邊形的十一角反稜柱,其每個頂點都是3個三角形和1個十一邊形的公共頂點,頂點圖以3.3.3.11表示。

十二方偏方面體

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十二方偏方面體是一種以十二邊形為底的偏方面體,由24個全等的鳶形組成,為十二角反角柱的對偶多面體[7],同時也是鳶形多面體,是偏方面體系列的第十個成員。所有十二方偏方面體都有24個、48條和26個頂點[7],其中,頂點有兩種,分別為12個鳶形的公共頂點和3個鳶形的公共頂點。

十二方偏方面體是一個等面圖形,即面可遞多面體,其所有面都相等。更具體來說,其不僅所有面都全等,且面與面必須能在其對稱性上傳遞,也就是說,面必須位於同一個對稱性軌道內。這種凸多面體是能做成公正的骰子的形狀。[8]

十二方偏方面體在施萊夫利符號中可以用{ }⨁{12}來表示,在考克斯特符號中可以用node_fh 2 node_fh 24 node node_fh 2 node_fh 12 node_fh 來表示,在康威多面體表示法中可以用dA12來表示。

詹森多面體

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在二十四面體中,有2個是詹森多面體,它們分別為:五角錐球狀屋頂三側錐正十二面體英语Triaugmented dodecahedron

名稱 種類 圖像 編號 頂點 面的種類 對稱性 展開圖
五角錐球狀屋頂 球狀屋頂變體 J90 16 38 24 20個正三角形
4個正方形
D2d
三側錐正十二面體英语Triaugmented dodecahedron 側錐正多面體 J61 23 45 24 15個正三角形
9個五邊形
C3v

卡塔蘭立體

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在二十四面體中,有5種拓樸結構明顯不同的卡塔蘭立體[9],分別為三角化八面體四角化六面體、鳶形二十四面體和五角化二十四面體,其中五角化二十四面體具有2個手性鏡像,因此幾何上只包含了四種不同的卡塔蘭立體。

名稱 圖像 展开图 對偶 頂點 頂點布局 點群
三角化八面體 Triakis octahedron
(動畫)
截角立方體 24 36 14 等腰三角形
V3.8.8
Oh
四角化六面體 Tetrakis hexahedron
(動畫)
截角八面體 24 36 14 等腰三角形
V4.6.6
Oh
鳶形二十四面體 Deltoidal icositetrahedron
(動畫)
小斜方截半立方體 24 48 26 鳶形
V3.4.4.4
Oh
五角二十四面體
(有兩種手性鏡像)
Pentagonal icositetrahedron (Ccw)
(動畫)
Pentagonal icositetrahedron (Cw)
(動畫)
扭稜立方體 24 60 38 不等邊五邊形
V3.3.3.3.4
O群

均勻星形多面體

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部分的均勻星形多面體也具有24個面:

名稱 圖像 威佐夫
符號
英语Wythoff symbol
頂點圖 對稱性 C# W# U# K# 頂點 歐拉 密度英语Density_(polytope) 面種類
雙三斜十二面體 3 | 5/3 5
(5/3.5)3
Ih C53 W080 U41 K46 20 60 24 -16 4 12{5}+12{5/2}
截半大十二面體 3 | 5/3 5
(5/3.5)3
Ih C53 W080 U41 K46 20 60 24 -16 4 12{5}+12{5/2}
截角大十二面體 2 5/2 | 5
10.10.5/2
Ih C47 W075 U37 K42 60 90 24 -6 3 12{5/2}+12{10}
小星形截角十二面體 2 5 | 5/3
10/3.10/3.5
Ih C74 W097 U58 K63 60 90 24 -6 9 12{5}+12{10/3}

二十四面體列表

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名稱 種類 圖像 符號 頂點 χ 面的種類 對稱性 展開圖
二十二角柱 稜柱體 t{2,22}
{22}x{}
node_1 2 node_1 22 node 
44 66 24 2 2個二十二邊形英语Icosidigon
22個矩形
D22h, [22,2], (*22 2 2), order 88
二十三角錐 稜錐體 ( )∨{23} 24 46 24 2 1個二十三邊形日语二十三角形
23個三角形
C23v, [23], (*23 23)
二十二角錐台 錐台 44 66 24 2 2個二十二邊形
22個梯形
D22h, [22,2], (*22 2 2), order 88
雙十二角錐 雙錐體 { } + {12}
node_f1 2 node_f1 12 node 
14 36 24 2 12個三角形 D12h, [12,2], (*2 2 12), order 48
十二方偏方面體 偏方面體 { }⨁{12}[10]:235 26 48 24 2 24個鷂形 D12d, [2+,12], (2*12)
十一角反稜柱 反稜柱 s{2,22}
sr{2,11}
node_h 2x node_h 2x 2x node 
node_h 2x node_h 11 node_h 
22 44 24 2 2個十一邊形
22個三角形
D11d, [2+,22], (2*11), order 44
十一角帳塔 帳塔 33 55 24 2 11個正三角形
11個正方形
1個正十一邊形
1個正二十二邊形
D11d, [2+,22], (2*11), 44階
異相雙四角
帳塔柱的對偶

偽鳶形二十四面體[11]
詹森多面體對偶 26 48 24 2 24個鳶形 D4d

參見

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參考文獻

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  1. ^ Isohedron 24k. loki3.com. [2016-08-29]. (原始内容存档于2019-02-18). 页面存档备份,存于互联网档案馆
  2. ^ The Isometric Crystal System. metafysica.nl. [2016-08-29]. (原始内容存档于2018-11-29). 页面存档备份,存于互联网档案馆
  3. ^ Weisstein, Eric W. (编). Icositetrahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  4. ^ Counting polyhedra. numericana.com. [2016-01-10]. (原始内容存档于2020-08-20). 页面存档备份,存于互联网档案馆
  5. ^ 5.0 5.1 Wolfram, Stephen. "Icositrigonal pyramid". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语). 
  6. ^ Wolfram, Stephen. "Icosidigonal prism". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语). 
  7. ^ 7.0 7.1 Wolfram, Stephen. "12-trapezohedron". from Wolfram Alpha: Computational Knowledge Engine, Wolfram Research (英语). 
  8. ^ McLean, K. Robin, Dungeons, dragons, and dice, The Mathematical Gazette, 1990, 74 (469): 243–256, JSTOR 3619822, doi:10.2307/3619822 .
  9. ^ Eugène Catalan Mémoire sur la Théorie des Polyèdres. J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865.
  10. ^ Johnson, N.W. Chapter 11: Finite symmetry groups. Geometries and Transformations. 2018. ISBN 978-1-107-10340-5. 
  11. ^ George Hart. pseudo-rhombicuboctahedra. georgehart.com. [2017-07-22]. (原始内容存档于2012-12-08). 页面存档备份,存于互联网档案馆

外部連結

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