下限拓撲

數學上，下限拓撲是定義在實數集 $\mathbb {R}$ 上的拓撲。其不同於 $\mathbb {R}$ 上的標準拓撲（由開區間生成），且具有若干有趣的性質。其為全體半開區間 [a,b) 組成的基生成的拓撲，其中 a 和 b 取遍任意實數。

這樣得到的拓撲空間稱為Sorgenfrey直線（得名自 Robert Sorgenfrey（英語：Robert Sorgenfrey））或箭頭，有時記為 $\mathbb {R} _{l}$ . 與康托集和長直線類似，Sorgenfrey 直線也經常作為點集拓撲學中不少似是而非的命題的反例。

$\mathbb {R} _{l}$ 與自身的積也是有用的反例，稱為Sorgenfrey平面。

類似地，可以定義 $\mathbb {R}$ 上的上限拓撲，其性質與下限拓撲完全相同。

性質[編輯]

下限拓撲比實數集的標準拓撲更精細（具有更多開集）。原因是每個開區間都可寫成半開區間的可數並，故在下限拓撲中也是開集。
對任意實數 $a$ 和 $b$ , 區間 $[a,b)$ 都是 $\mathbb {R} _{l}$ 的閉開集（既是開集，也是閉集）。而且，對任意實數 $a$ , 集合 $\{x\in \mathbb {R} :x<a\}$ 和 $\{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}$ 皆為閉開集。故 $\mathbb {R} _{l}$ 為完全不連通空間。
$\mathbb {R} _{l}$ 的緊子集只能是可數集（允許是有限集）。要證明此結論，考慮非空緊集 $C\subseteq \mathbb {R} _{l}$ . 取定 $x\in C$ , 考慮 $C$ 的開覆蓋：

{\bigl \{}[x,+\infty ){\bigr \}}\cup {\Bigl \{}{\bigl (}-\infty ,x-{\tfrac {1}{n}}{\bigr )}\,{\Big |}\,n\in \mathbb {N} {\Bigr \}}.

由於

C

為緊，此開覆蓋具有有限子覆蓋，故存在實數

a(x)

使得區間

(a(x),x]

不含

C

除

x

以外的點。這對任意

x\in C

為真。現選取有理數

q(x)\in (a(x),x]\cap \mathbb {Q}

. 對不同的

x\in C

, 區間

(a(x),x]

兩兩不交，故函數

q:C\to \mathbb {Q}

為單射，故

C

至多可數。

「下限拓撲」得名自以下性質： $\mathbb {R} _{l}$ 中的序列（或網） $(x_{\alpha })$ 收斂到 $L$ 若且唯若其「從右接近 $L$ 」，即對任意的 $\epsilon >0$ ，均存在下標 $\alpha _{0}$ 使得 $\forall \alpha \geq \alpha _{0}:L\leq x_{\alpha }<L+\epsilon$ . $\mathbb {R} _{l}$ 因此可用於研究單側極限：對函數 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ , $f$ 於 $x$ 之右極限（假定陪域具有標準拓撲），等於定義域在下限拓撲下 $f$ 於 $x$ 之一般極限。
就分離公理而言， $\mathbb {R} _{l}$ 是完美正規豪斯多夫空間（T₆ 空間）。
就可數性公理而言， $\mathbb {R} _{l}$ 是第一可數空間和可分空間，但並非第二可數空間。
就緊緻性而言， $\mathbb {R} _{l}$ 是林德勒夫空間和仿緊空間，但並非σ-緊空間（英語：σ-compact space），也不是局部緊空間。
$\mathbb {R} _{l}$ 不可度量化，因為可分的度量空間必為第二可數。然而， $\mathbb {R} _{l}$ 的拓撲是由一個預度量給出。
$\mathbb {R} _{l}$ 是一個貝爾空間 ^[1]。