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物理空间代数

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物理学中,物理空间代数 (APS)是用三维欧氏空间克利福德代数几何代数作为(3+1)维时空的模型,通过副向量(3维向量加1维标量)表示时空中的一个点。

克利福德代数旋量表示上有由泡利矩阵生成的忠实表示;此外,同构于克利福德代数的偶子代数

APS可为经典力学与量子力学构建一个紧凑、统一的几何形式。

注意APS与时空代数(STA)不同,后者涉及4维闵氏时空克利福德代数

狭义相对论

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时空位置副向量

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APS中,时空位置可表为副向量

其中时间由标绿部分给出,是位置空间的标准基。整个过程中使用的单位是,称作自然单位制。在泡利矩阵表述中,单位基向量被泡利矩阵代替,标量部分被单位矩阵代替,这意味着时空位置的泡利矩阵表述为

洛伦兹变换与转子

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保时间方向、包含旋转与递升的受限洛伦兹变换,可用对时空旋转双副向量W进行指数化实现:

在矩阵表示中,洛伦兹转子被看作是群(复数上度为2的特殊线性群)的一个例子,其是洛伦兹群的双覆盖。洛伦兹转子的幺模性可由以下条件,转为洛伦兹转子与其克利福德共轭之积:

此洛伦兹转子总可以分解为两个因子,是厄米幺正,使得

酉元R称作转子,因为其编码了旋转,厄米元B则编码了递升。

四维速度副向量

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四维速度也称原速,定义为时空位置副向量对原时τ导数

定义普通速度为

回想伽马因子的定义:

于是原速的更紧凑定义是:

原速是正幺模副向量,意味着下列克利福德共轭条件:

洛伦兹转子L作用下,原速变换为

四维动量副向量

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APS中的四维动量可通过将原速与质量相乘得到: 质壳条件转化为

经典电动力学

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电磁场、电势与电流

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电磁场可表为双副向量F 其中厄米部分代表电场E,反厄米部分代表磁场B。在标准泡利矩阵表示中,电磁场为

F的源是电磁四维电流 其中标量部分等于电荷密度ρ,向量部分等于电流密度j。引入电磁势副向量 当中标量部分等于电势ϕ,向量部分等于磁势A。则电磁场为 此场也可分为电部分 与磁部分 当中 F在下列规范变换下不变: 其中标量场

电磁场在洛伦兹变换下是协变的,规律是

麦克斯韦方程组与洛伦兹力

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麦克斯韦方程组可用单一方程表示: 其中上横线表示克利福德共轭。

洛伦兹力方程形式为

电磁拉格朗日量

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电磁拉格朗日量 是实标量不变量。

相对论量子力学

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对质量为m、电荷为e带电粒子,其狄拉克方程的形式为 其中是任意酉向量,A是如上所述的电磁副向量。电磁相互作用通过最小耦合包含在势A中。

经典旋量

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与洛伦兹力一致的洛伦兹转子的微分方程 这样,原速可通过静止时的洛伦兹变换计算出来: 积分之,就可得到时空轨迹,同时还能使用

另见

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参考文献

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教科书

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文章

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