物理学中,物理空间代数 (APS)是用三维欧氏空间的克利福德代数或几何代数
作为(3+1)维时空的模型,通过副向量(3维向量加1维标量)表示时空中的一个点。
克利福德代数
在旋量表示
上有由泡利矩阵生成的忠实表示;此外,
同构于克利福德代数
的偶子代数
。
APS可为经典力学与量子力学构建一个紧凑、统一的几何形式。
注意APS与时空代数(STA)不同,后者涉及4维闵氏时空的克利福德代数
。
APS中,时空位置可表为副向量
其中时间由标绿部分
给出,
是位置空间的标准基。整个过程中使用的单位是
,称作自然单位制。在泡利矩阵表述中,单位基向量被泡利矩阵代替,标量部分被单位矩阵代替,这意味着时空位置的泡利矩阵表述为
保时间方向、包含旋转与递升的受限洛伦兹变换,可用对时空旋转双副向量W进行指数化实现:
在矩阵表示中,洛伦兹转子被看作是
群(复数上度为2的特殊线性群)的一个例子,其是洛伦兹群的双覆盖。洛伦兹转子的幺模性可由以下条件,转为洛伦兹转子与其克利福德共轭之积:
此洛伦兹转子总可以分解为两个因子,是厄米的
与幺正的
,使得
酉元R称作转子,因为其编码了旋转,厄米元B则编码了递升。
四维速度也称原速,定义为时空位置副向量对原时τ的导数:
定义普通速度为
回想伽马因子的定义:
于是原速的更紧凑定义是:
原速是正幺模副向量,意味着下列克利福德共轭条件:
在洛伦兹转子L作用下,原速变换为
APS中的四维动量可通过将原速与质量相乘得到:
质壳条件转化为
电磁场可表为双副向量F:
其中厄米部分代表电场E,反厄米部分代表磁场B。在标准泡利矩阵表示中,电磁场为
场F的源是电磁四维电流
其中标量部分等于电荷密度ρ,向量部分等于电流密度j。引入电磁势副向量:
当中标量部分等于电势ϕ,向量部分等于磁势A。则电磁场为
此场也可分为电部分
与磁部分
当中
且F在下列规范变换下不变:
其中
是标量场。
电磁场在洛伦兹变换下是协变的,规律是
麦克斯韦方程组可用单一方程表示:
其中上横线表示克利福德共轭。
洛伦兹力方程形式为
电磁拉格朗日量是
是实标量不变量。
对质量为m、电荷为e的带电粒子,其狄拉克方程的形式为
其中
是任意酉向量,A是如上所述的电磁副向量。电磁相互作用通过最小耦合包含在势A中。
与洛伦兹力一致的洛伦兹转子的微分方程为
这样,原速可通过静止时的洛伦兹变换计算出来:
积分之,就可得到时空轨迹
,同时还能使用
- Baylis, W E. Relativity in introductory physics. Canadian Journal of Physics. 2004, 82 (11): 853–873. Bibcode:2004CaJPh..82..853B. S2CID 35027499. arXiv:physics/0406158
. doi:10.1139/p04-058.
- Baylis, W E; Jones, G. The Pauli algebra approach to special relativity. Journal of Physics A: Mathematical and General. 7 January 1989, 22 (1): 1–15. Bibcode:1989JPhA...22....1B. doi:10.1088/0305-4470/22/1/008.
- Baylis, W. E. Classical eigenspinors and the Dirac equation. Physical Review A. 1 March 1992, 45 (7): 4293–4302. Bibcode:1992PhRvA..45.4293B. PMID 9907503. doi:10.1103/physreva.45.4293.
- Baylis, W. E.; Yao, Y. Relativistic dynamics of charges in electromagnetic fields: An eigenspinor approach. Physical Review A. 1 July 1999, 60 (2): 785–795. Bibcode:1999PhRvA..60..785B. doi:10.1103/physreva.60.785.
|
---|
| 可数集 |
- 自然数 (
)
- 整数 (
)
- 有理数 (
)
- 规矩数
- 代数数 (
)
- 周期
- 可计算数
- 可定义数
- 高斯整数 (
)
- 艾森斯坦整数
|
---|
| 合成代数 |
- 可除代数:实数 (
)
- 复数 (
)
- 四元数 (
)
- 八元数 (
)
|
---|
| 凯莱-迪克森结构 |
- 实数 (
)
- 复数 (
)
- 四元数 (
)
- 八元数 (
)
- 十六元数 (
)
- 三十二元数
- 六十四元数
- 一百二十八元数
- 二百五十六元数……
|
---|
| 分裂 形式 | |
---|
| 其他超复数 | |
---|
| 其他系统 | |
---|
| |
|