物理空間代數

物理學中，物理空間代數 （APS）是用三維歐氏空間的克利福德代數或幾何代數${\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )$作為(3+1)維時空的模型，通過副向量（3維向量加1維純量）表示時空中的一個點。

克利福德代數${\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )$在旋量表示$\mathbb {C} ^{2}$上有由泡利矩陣生成的忠實表示；此外，${\rm {Cl}}_{3,\ 0}(\mathbb {R} )$同構於克利福德代數${\rm {Cl}}_{3,\ 1}(\mathbb {R} )$的偶子代數${\rm {Cl}}_{3,\ 1}^{[0]}(\mathbb {R} )$。

APS可為經典力學與量子力學構建一個緊湊、統一的幾何形式。

注意APS與時空代數（STA）不同，後者涉及4維閔氏時空的克利福德代數${\rm {Cl}}_{1,\ 3}(\mathbb {R} )$。

狹義相對論

時空位置副向量

APS中，時空位置可表為副向量

$$x=x^{0}+x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3},$$

其中時間由標綠部分$x^{0}=t$給出，${\vec {e}}_{1},\ {\vec {e}}_{2},\ {\vec {e}}_{3}$是位置空間的標準基。整個過程中使用的單位是$c=1$，稱作自然單位制。在泡利矩陣表述中，單位基向量被泡利矩陣代替，純量部分被單位矩陣代替，這意味着時空位置的泡利矩陣表述為

$$x\rightarrow {\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}$$

洛倫茲變換與轉子

主條目：洛倫茲變換和轉子 (數學)

保時間方向、包含旋轉與遞升的受限洛倫茲變換，可用對時空旋轉雙副向量W進行指數化實現：

$$L=e^{{\frac {1}{2}}W}.$$

在矩陣表示中，洛倫茲轉子被看作是${\rm {SL}}(2,\ \mathbb {C} )$群（複數上度為2的特殊線性群）的一個例子，其是洛倫茲群的雙覆蓋。洛倫茲轉子的么模性可由以下條件，轉為洛倫茲轉子與其克利福德共軛之積：

$$L{\bar {L}}={\bar {L}}L=1.$$

此洛倫茲轉子總可以分解為兩個因子，是厄米的$B=B^{\dagger }$與么正的$R^{\dagger }=R^{-1}$，使得

$$L=BR.$$

酉元R稱作轉子，因為其編碼了旋轉，厄米元B則編碼了遞升。

四維速度副向量

四維速度也稱原速，定義為時空位置副向量對原時τ的導數：

$$u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}\left[1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})\right].$$

定義普通速度為

$$\mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3}),$$

回想伽馬因子的定義：

$$\gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}},$$

於是原速的更緊湊定義是：

$$u=\gamma (\mathbf {v} )(1+\mathbf {v} ).$$

原速是正么模副向量，意味着下列克利福德共軛條件：

$$u{\bar {u}}=1.$$

在洛倫茲轉子L作用下，原速變換為

$$u\rightarrow u^{\prime }=LuL^{\dagger }.$$

四維動量副向量

APS中的四維動量可通過將原速與質量相乘得到：

$$p=mu,$$

質殼條件轉化為

$${\bar {p}}p=m^{2}.$$

經典電動力學

主條目：經典電動力學

電磁場、電勢與電流

電磁場可表為雙副向量F：

$$F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ,$$

其中厄米部分代表電場E，反厄米部分代表磁場B。在標準泡利矩陣表示中，電磁場為

$$F\rightarrow {\begin{pmatrix}E_{3}&E_{1}-iE_{2}\\E_{1}+iE_{2}&-E_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B_{3}&B_{1}-iB_{2}\\B_{1}+iB_{2}&-B_{3}\end{pmatrix}}\,.$$

場F的源是電磁四維電流

$$j=\rho +\mathbf {j} \,,$$

其中純量部分等於電荷密度ρ，向量部分等於電流密度j。引入電磁勢副向量：

$$A=\phi +\mathbf {A} \,,$$

當中純量部分等於電勢ϕ，向量部分等於磁勢A。則電磁場為

$$F=\partial {\bar {A}}.$$

此場也可分為電部分

$$E=\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{V}$$

與磁部分

$$B=i\langle \partial {\bar {A}}\rangle _{BV}$$

當中

$$\partial =\partial _{t}+\mathbf {e} _{1}\,\partial _{x}+\mathbf {e} _{2}\,\partial _{y}+\mathbf {e} _{3}\,\partial _{z}$$

且F在下列規範變換下不變：

$$A\rightarrow A+\partial \chi \,,$$

其中$\chi$是純量場。

電磁場在洛倫茲變換下是協變的，規律是

$$F\rightarrow F^{\prime }=LF{\bar {L}}\,.$$

麥克斯韋方程組與洛倫茲力

麥克斯韋方程組可用單一方程表示：

$${\bar {\partial }}F={\frac {1}{\epsilon }}{\bar {j}}\,,$$

其中上橫線表示克利福德共軛。

洛倫茲力方程形式為

$${\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{R}\,.$$

電磁拉格朗日量

電磁拉格朗日量是

$$L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{S}-\langle A{\bar {j}}\rangle _{S}\,,$$

是實純量不變量。

相對論量子力學

主條目：相對論量子力學

對質量為m、電荷為e的帶電粒子，其狄拉克方程的形式為

$$i{\bar {\partial }}\Psi \mathbf {e} _{3}+e{\bar {A}}\Psi =m{\bar {\Psi }}^{\dagger },$$

其中${\vec {e}}_{3}'$是任意酉向量，A是如上所述的電磁副向量。電磁相互作用通過最小耦合包含在勢A中。

經典旋量

主條目：旋量

與洛倫茲力一致的洛倫茲轉子的微分方程為

$${\frac {d\Lambda }{d\tau }}={\frac {e}{2mc}}F\Lambda ,$$

這樣，原速可通過靜止時的洛倫茲變換計算出來：

$$u=\Lambda \Lambda ^{\dagger },$$

積分之，就可得到時空軌跡$x(\tau )$，同時還能使用

$${\frac {dx}{d\tau }}=u.$$

另見

• 副向量
• 多重向量
• wikibooks:Physics Using Geometric Algebra
• 相對論量子力學
• 代數

參考文獻

教科書

• Baylis, William. Electrodynamics: A Modern Geometric Approach 2nd. 2002. ISBN 0-8176-4025-8. 
• Baylis, William (編). Clifford (Geometric) Algebras: with applications to physics, mathematics, and engineering. Springer. 1999 [1996]. ISBN 978-0-8176-3868-9. 
• Doran, Chris; Lasenby, Anthony. Geometric Algebra for Physicists. Cambridge University Press. 2007 [2003]. ISBN 978-1-139-64314-6. 
• Hestenes, David. New Foundations for Classical Mechanics 2nd. Kluwer. 1999. ISBN 0-7923-5514-8. 

文章

• Baylis, W E. Relativity in introductory physics. Canadian Journal of Physics. 2004, 82 (11): 853–873. Bibcode:2004CaJPh..82..853B. S2CID 35027499. arXiv:physics/0406158 . doi:10.1139/p04-058. 
• Baylis, W E; Jones, G. The Pauli algebra approach to special relativity. Journal of Physics A: Mathematical and General. 7 January 1989, 22 (1): 1–15. Bibcode:1989JPhA...22....1B. doi:10.1088/0305-4470/22/1/008. 
• Baylis, W. E. Classical eigenspinors and the Dirac equation. Physical Review A. 1 March 1992, 45 (7): 4293–4302. Bibcode:1992PhRvA..45.4293B. PMID 9907503. doi:10.1103/physreva.45.4293. 
• Baylis, W. E.; Yao, Y. Relativistic dynamics of charges in electromagnetic fields: An eigenspinor approach. Physical Review A. 1 July 1999, 60 (2): 785–795. Bibcode:1999PhRvA..60..785B. doi:10.1103/physreva.60.785.