算子代數

泛函分析中，算子代數是拓撲向量空間上連續線性算子的代數，乘法由映射複合給出。

算子代數的研究結果通常用代數術語表述，使用的技術則通常是高度分析的。算子代數研究通常歸入泛函分析，在表示論、微分幾何、量子統計力學、量子信息及量子場論等領域都有直接應用。

概覽

算子代數可用於研究代數關係不大的任意算子集合，這樣來看，算子代數可視作譜理論在單算子上的推廣。一般來說，算子代數是非交換環。

算子代數通常要求在連續線性算子的整個代數內，以特定的算子拓撲封閉。特別地，它是同時具有代數和拓撲封閉性的算子集。某些學科中，這種性質得到了公理化，研究對象變成具有特定拓撲結構的代數。

算子代數在不同背景下都有研究（如作用於分布空間的偽微分算子的代數），而通常指巴拿赫空間上的有界算子代數，或更特別地是指可分希爾伯特空間上的算子代數，具有算子範數拓撲。 就希爾伯特空間上的算子而言，算子上的埃爾米特伴隨映射給出了自然對合，提供了可置於代數上的附加代數結構。這樣，研究得最好的例子是自伴算子代數，即對伴隨封閉，如C*-代數、馮諾依曼代數、AW*-代數等。C*-代數很容易通過與範數、對合與乘法相關的條件抽象地表徵出來，這種抽象定義的C*-代數很像合適的希爾伯特空間上連續線性算子代數的某個封閉子代數。相似的結果也適於馮諾依曼代數。

交換自伴算子代數可視為局部緊空間上的復值連續函數代數，或標準可測空間上的可測函數代數。於是，可以把一般算子代數看做它們的非交換推廣，或定義了函數的基空間的結構。這種觀點被闡述為非交換幾何，試圖用非交換算子代數來研究各種非經典和/或病態的對象。

不自伴的算子代數有：

• 巢代數、
• 很多交換子空間格代數、
• 很多極限代數。

另見

• 巴拿赫代數
• 矩陣力學
• 算子拓撲
• 頂點算子代數

閱讀更多

• Blackadar, Bruce. Operator Algebras: Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer-Verlag. 2005. ISBN 3-540-28486-9. 
• M. Takesaki, Theory of Operator Algebras I, Springer, 2001.