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等价关系

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在数学中,等价关系(英语:Equivalence relation)是具有自反性对称性传递性二元关系。等价关系也称为同值关系。一些等价关系的例子包括整数集上的同余,. 欧几里得几何中的等量(英语:Equipollence),以及普通的相等关系。

集合上的每个等价关系都提供了一个划分,将划分为不相交的等价类中的两个元素等价当且仅当它们属于同一等价类。

定义

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若集合上的二元关系满足以下条件:

  1. 自反性:
  2. 对称性:
  3. 传递性:

则称是一个定义在上的等价关系。习惯上会把等价关系的符号由改写为

事例

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等价关系的例子

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例如,设,定义上的关系如下:

其中叫做模3同馀,即除以3的馀数与除以3的馀数相等。例子有1R4, 2R5, 3R6。不难验证上的等价关系。

并非所有的二元关系都是等价关系。一个简单的反例是比较两个数中哪个较大

  • 没有自反性:任何一个数不能比自身为较大(
  • 没有对称性:如果,就肯定不能有

不是等价关系的关系的例子

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  • 实数之间的"≥"关系满足自反性和传递性,但不满足对称性。例如,7 ≥ 5 无法推出 5 ≥ 7。它是一种全序关系

参见

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参考文献

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  • Brown, Ronald, 2006. Topology and Groupoids. Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.
  • Castellani, E., 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds., Symmetries in Physics: Philosophical Reflections. Cambridge Univ. Press: 422-433.
  • Robert Dilworth英语Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
  • Higgins, P.J., 1971. Categories and groupoids.页面存档备份,存于互联网档案馆 Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
  • John Randolph Lucas英语John Lucas (philosopher), 1973. A Treatise on Time and Space. London: Methuen. Section 31.
  • Rosen, Joseph (2008) Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry. Springer-Verlag. Mostly chpts. 9,10.
  • Raymond Wilder英语Raymond Wilder (1965) Introduction to the Foundations of Mathematics 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.

外部链接

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