维基百科:知识问答

  “WP:RD”重定向至此。关于维基百科的修订版本删除，请见“WP:CRD”。

互助客栈： 消息  方针  技术  求助  条目探讨  其他  |  知识问答

欢迎 帮助索引 如何提问 常见问题 读者 编辑问题求助 其他问题求助 学习维基代码 学习维基用语 快捷方式列表 即时协助

发表前请先搜索存档，参考旧讨论中的内容可节省您的时间。

公告栏

• [人事] 第一届仲裁委员会选举已开始投票，共有11名编者已获确认参选资格，欢迎踊跃参与。
• [人事] SCP-2000、ATannedBurger、0xDeadbeef、S8321414、ASid获提名为管理员，Peacearth获提名为行政员、监督员，目前投票进行中，欢迎踊跃参与。
• [公告] 调整《WP:非原创研究#翻译》章节、去掉《消歧义》指引页中（非所有消歧义页面）描述项末的句号、调整地名命名常规的规定、取消部分模板中罗马化转写斜体格式、规限电视节目条目播放资讯及把最近逝世最后编辑工具加入维基百科:新闻动态候选已经通过。
• [公告] 用户组自我除权、调整WP:列明来源、WP:ITNR字眼的小修订及GFDL相关规范加入正在公示，如有意见请尽快提出。
• [讨论] 互助客栈方针区正在讨论扩充ITNR获选类别，请踊跃参与讨论。
• [讨论] 互助客栈其他区正在讨论管理人员任免制度检讨等事、本地部署安全投票及相关权限及关于仲裁委员会职权的疑问，请踊跃参与讨论。
• [讨论] 社群现正就GFDL相关规范加入及仲裁委员会成立后的管理人员解任机制征求意见，请踊跃参与讨论。
• [广告] 维基百科亚洲月现正举行，直至11月30日完结，欢迎踊跃参与！

• [协作] 现有134个页面需维基化，370个条目需清理，43个移动请求正在讨论。

#	💭 话题	💬	👥	🙋 最新发言	🕒 (UTC+8)
1	已知三角形三边边长呈实数等比数列，且至少有一个内角是60度，试证明此三角形为正三角形。	13	7	克劳棣	2024-11-03 19:30
2	已知三角形三边边长呈实数等差数列，且至少有一个内角是60度，试证明此三角形为正三角形。	5	3	克劳棣	2024-11-03 19:43
3	请问扁钻是什么？	4	3	Miyakoo	2024-10-31 23:32

发言更新图例
最近一小时内
最近一日内
一周内
一个月内
逾一个月
特殊状态
已移动至其他页面 或完成讨论之议题
手动设定
当列表出现异常时， 请先检查设定是否有误

已知三角形三边边长呈实数等比数列，且至少有一个内角是60度，试证明此三角形为正三角形。

如题。谢谢！---游蛇脱壳/克劳棣 2024年10月29日 (二) 15:50 (UTC)

可以假设，另外两个内角分别是 60-x 和 60+x，三边为 a/r、a、ar。

利用正弦定理，可以求出r=1。

三边等长，所以此三角形是正三角形。--211.21.210.74（留言） 2024年10月30日 (三) 01:08 (UTC)

不可以这样假设，我只有说三边边长呈等比数列，没有说三内角角度呈等差数列。

这是阁下额外添加的条件，没有必然的因果关系，或者更准确地说，这因果关系本身就是本题要证明的事项。---游蛇脱壳/克劳棣 2024年10月30日 (三) 08:53 (UTC)

三角形内角和为180度，已知其中一个角为60度，则另外两个角必然是60-x和60+x。--CaiDie（留言） 2024年10月31日 (四) 03:31 (UTC)

@克劳棣

如果你介意这点的话，可以把另外两个内角设成x和120-x。

最后结果仍然可以求出r=1。--36.234.14.11（留言） 2024年10月31日 (四) 14:14 (UTC)

好吧！但那个已知的60度的对边边长为什么是等比数列的第二项，而不是第一项或第三项呢？-游蛇脱壳/克劳棣 2024年10月31日 (四) 17:18 (UTC)

因为题目已经告知其中一角是60度，则另外两角和必定为120度。

此两角的值不论怎么假设，一定会是其中一角小于等于60度，另外一角大于等于60度。--211.21.210.74（留言） 2024年11月1日 (五) 01:34 (UTC)

我上一个问题是问边长，不是角度。---游蛇脱壳/克劳棣 2024年11月1日 (五) 08:13 (UTC)

大角对大边--2A0C:5A82:E212:1200:D8B2:E737:24D6:8825（留言） 2024年11月2日 (六) 09:43 (UTC)

好！60度角的对边边长是等比数列的第二项，那么请问接下来怎么用正弦定理证明这题呢？

我自己是用馀弦定理做，用正弦定理反而被我搞得很复杂，实在不知道怎么进行下去。

或是阁下用馀弦定理做做看，展示是否和我的思路一样。谢谢！---游蛇脱壳/克劳棣 2024年11月2日 (六) 12:33 (UTC)

馀弦定理：

$cos60={\frac {(ar)^{2}+({\frac {a}{r}})^{2}-a^{2}}{2a({\frac {a}{r}})}}={\frac {1}{2}}$

上下同除$a^{2}$，得到${\frac {r^{2}+{\frac {1}{r^{2}}}-1}{2}}={\frac {1}{2}}$，可以解得$r=1$

正弦定理：(假设x是小于等于60的角)

${\frac {sin60}{a}}={\frac {sinx}{\frac {a}{r}}}={\frac {sin(120-x)}{ar}}$

得到联立方程式${\begin{cases}{\frac {1}{r}}sin60=sinx\\rsin60=sin(120-x)\end{cases}}$

上下两式相加，$(r+{\frac {1}{r}})sin60=sinx+sin(120-x)=2sin60cos(60-x)$

化简得到$r+{\frac {1}{r}}=2cos(60-x)\leq 2$

另外，利用算几不等式，可以得到${\frac {r+{\frac {1}{r}}}{2}}\geq {\sqrt {r({\frac {1}{r}})}}=1$

结合两个不等式，$r+{\frac {1}{r}}$只能等于2。

又因为算几不等式的等号成立，可以得到$r={\frac {1}{r}}=1$--2001:B011:8016:F994:6C78:4FF:718:1DA6（留言） 2024年11月3日 (日) 03:04 (UTC)

抱歉笔误，馀弦定理第一行的分母少了一个r。--2001:B011:8016:F994:6926:FCD3:CECF:EF62（留言） 2024年11月3日 (日) 05:34 (UTC)

设此等比数列由小至大是a,b,c，则$b^{2}=ac$，

又$\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}$

$a^{2}+c^{2}-b^{2}=ac$

$a^{2}+c^{2}-2ac=0$

$(a-c)^{2}=0$

$a=c$

$b^{2}=ac=a^{2}$

$b=a$

故$a=b=c$---游蛇脱壳/克劳棣 2024年11月3日 (日) 11:30 (UTC)

已知三角形三边边长呈实数等差数列，且至少有一个内角是60度，试证明此三角形为正三角形。

如题。谢谢。---游蛇脱壳/克劳棣 2024年10月29日 (二) 15:51 (UTC)

阁下同时发布了两个相同的问题，是否可以考虑将本问题删除？谢谢。--CHNAQW（戳我进入讨论页！o(*^▽^*)o~） 2024年11月1日 (五) 08:06 (UTC)

并没有相同。一个是边长呈等比数列，一个是等差数列。虽然结果一样，但起始条件不同。---游蛇脱壳/克劳棣 2024年11月1日 (五) 08:19 (UTC)

和上题一样，设x为小于等于60度的角，三边由小至大分别为a-d、a、a+d。

利用正弦定理，${\frac {sin60}{a}}={\frac {sinx}{a-d}}={\frac {sin(120-x)}{a+d}}$

得到联立方程${\begin{cases}(a-d)sin60=asinx\\(a+d)sin60=asin(120-x)\end{cases}}$

上下两式相加，$2asin60=asinx+asin(120-x)$

左右两边同除以a，最后可以得到$cos(60-x)=1$

$x=60$，三个内角都是60度，所以此三角形是正三角形。

利用馀弦定理，$cos60={\frac {(a-d)^{2}+(a+d)^{2}-a^{2}}{2(a+d)(a-d)}}={\frac {1}{2}}$

最后可以解出$d=0$，三边等长，此三角形是正三角形。--2001:B011:8016:F994:6926:FCD3:CECF:EF62（留言） 2024年11月3日 (日) 05:55 (UTC)

设此等差数列由小至大是a,b,c，则$a+c=2b$

$(a+c)^{2}=(2b)^{2}\rightarrow a^{2}+c^{2}+2ac=4b^{2}\rightarrow a^{2}+c^{2}=4b^{2}-2ac$

又$\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}={\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}$

$a^{2}+c^{2}-b^{2}=ac$

$(4b^{2}-2ac)-b^{2}=ac$

$3b^{2}=3ac$

$b^{2}=ac$

因此a,b,c同时也呈等比数列

易知a,b,c若同时呈等差数列与等比数列，则a=b=c---游蛇脱壳/克劳棣 2024年11月3日 (日) 11:43 (UTC)

请问扁钻是什么？

我发现扁钻条目只有一个辞典解释，想扩充一下，用Google查了之后发现扁钻好像有两种，形状不一样，一种长得像苦无后方有环，被台湾黑道用来砍人，另一种是木工用具后方没有环，而条目介绍的是前一种，但我也不能确定，因为我几乎找不到对扁钻本身的介绍，倒是常在台湾的新闻中看到扁钻。SingBow（留言） 2024年10月31日 (四) 09:10 (UTC)

aat.teldap.tw/AATFullDisplay/300023591 打眼钻(木工工具) bradawls 扁头小钻 en:Bradawl，是这个吗？；云中岳著. 《锋刃绮情 上》 2004 85页中称，“攮子俗称插手或扁钻，原始用途是织布匠的工具，后来成了黑道朋友用来捅人的凶器”。但我没查到织布匠工具的佐证。；按《现代深孔加工技术》18页，扁钻是最古老的实体钻孔刀具，曾长期用于木材和青铜器、铁器的短浅小孔加工。--YFdyh000（留言） 2024年10月31日 (四) 13:16 (UTC)

应该不是。我想找的是《枪炮弹药刀械管制条例》描述的“刀刃为三角形，两面开锋，柄稍长，末端成圆圈”的扁钻，虽然虾皮上也有卖扁钻https://shopee.tw/【宜选】6-件木扁钻套装-10mm-25mm-钢木工铲钻头六角柄扁钻打孔器套装木工工具-i.301786945.17975626537，但那应该只是“扁的钻头”的简称而已，管制刀具怎么能随便卖--SingBow（留言） 2024年10月31日 (四) 14:48 (UTC)

(＊)提醒我修改了留言，因为url有显示问题。--Miyakoo（留言） 2024年10月31日 (四) 15:32 (UTC)