正規擴張

正規擴張是抽象代數中的概念，屬於域擴張中的一類。一個有限擴張 $L/K$ 是正規擴張當且僅當擴域 $L$ 是多項式環 $K [X]$ 中的某個多項式的分裂域。布爾巴基學派將這類擴張稱為「准伽羅瓦擴張」。正規擴張是代數擴張的一種。

定義

正規擴張的定義不止一種，以下三個準則都可以刻畫正規擴張，是三個等價的定義。域擴張 $L/K$ 是正規擴張當且僅當它滿足以下三個等價條件中任意一個：

$L$ 是多項式環 $K [X]$ 中的某一族多項式的分裂域。
設 $K alg$ 是一個包含了 $L$ 的 $K$ 的代數閉包。對於L在 $K alg$ 上的每一個嵌入 $σ$ ，只要它限制在 $K$ 上的部分是平凡的（即為恆等映射： $σ$ ( $x$ ) $= x$ ），那麼就有 $σ$ $(L) = L$ 。換句話說， $L$ 在 $K alg$ 上的每一個 $K-$ 嵌入 $σ$ 都是一個 $L$ 上的 $K-$ 自同構。
任意一個 $K [X]$ 上的不可約多項式，只要它在 $L$ 中有一個根，那麼就可以在 $L [X]$ 分解成一次因式的乘積（或者說全部的根都在 $L$ 中）。

例子

$\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ 是 $\mathbb {Q}$ 的一個正規擴張，因為它是 $\mathbb {Q}$ 上的多項式 $x^{2}-2$ 的分裂域。然而， $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 並不是 $\mathbb {Q}$ 的一個正規擴張，因為 $\mathbb {Q}$ 上的不可約多項式 $x^{3}-2$ 有一個根： ${\sqrt[{3}]{2}}$ 在 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 裡面，但它的另外兩個根： ${\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1-{\sqrt {3}}i}{2}}\right)$ 和 ${\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\right)$ 都是複數，不在 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 裡面。只有在加入了三次單位根： $\omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}$ 後的擴域 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega )$ 才是一個正規擴張。

也可以用正規擴張的第二個定義來證明 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 不是 $\mathbb {Q}$ 的正規擴張。設域 $\mathbb {A}$ 是由所有復代數數生成的擴域，則 $\mathbb {A}$ 是 $\mathbb {Q}$ 的一個代數閉包，並且 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 在 $\mathbb {A}$ 裡面。另一方面，

\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\{a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}\in \mathbb {A} \,|\,a,b,c\in \mathbb {Q} \}

並且，如果記 $\zeta ={\sqrt[{3}]{2}}\left({\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}\right)$ 是 $x^{3}-2$ 的復根之一，那麼映射：

{\begin{array}{lccc}\sigma :&\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})&\longrightarrow &\mathbb {A} \\&a+b{\sqrt[{3}]{2}}+c{\sqrt[{3}]{4}}&\mapsto &a+b\zeta +c\zeta ^{2}\end{array}}

是 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 在 $\mathbb {A}$ 上的一個嵌入，並且它限制在 $\mathbb {Q}$ 上的部分是平凡的（將 $\mathbb {Q}$ 中元素映射到自己）。但是 $σ$ 並不是 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})$ 上的自同構。

更一般地，對每一個素數 $p$ ，域擴張 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})$ 都是 $\mathbb {Q}$ 的一個正規擴張，擴張的次數是 $p$ ( $p -$ 1)。 $\mathbb {Q} ({\sqrt[{p}]{2}},\zeta _{p})$ 是 $\mathbb {Q}$ 上的多項式 $x^{p}-2$ 的分裂域。其中的 $\zeta _{p}$ 是任意一個複數 $p$ 次單位根。

性質

設有域擴張 $L/K$ ，那麼：

如果 $L$ 是 $K$ 的正規擴張，並且 $F$ 是一個子擴張（也就是說有擴張 $K$ ⊂ $F$ ⊂ $L$ ）那麼 $L$ 也是 $F$ 的正規擴張。
如果 $L$ 的子域 $E$ 和 $F$ 都是 $K$ 的正規擴張，那麼兩者的複合擴張 $EF$ （指 $L$ 的子域中同時包含 $E$ 和 $F$ 的最小者）以及兩者的交 $E$ ∩ $F$ 也都是 $K$ 的正規擴張。

正規閉包

設有域擴張 $L/K$ ，那麼總存在域擴張 $M/L$ ，使得 $M/K$ 是正規擴張。在同構意義上，「最小」的這樣的擴張是唯一。即是說，其他的域擴張 $N/L$ 如果使得 $N/K$ 是正規擴張，那麼總存在 $N/L$ 的子擴張 $M'/L$ ，使得 $M'$ 同構於 $M$ 。這個唯一的「最小」正規擴張 $M/L$ 稱為域擴張 $L/K$ 的正規閉包。

如果 $L/K$ 是有限擴張，那麼它的正規閉包 $M/L$ 也是有限擴張（因此 $M/K$ 也是有限擴張）。

參見

伽羅瓦擴張

參考來源

Lang, Serge. Algebra, Graduate Texts in Mathematics. New York: Springer-Verlag. 2002. ISBN 978-0-387-95385-4.
Jacobson, Nathan, Basic Algebra II 2nd, W. H. Freeman, 1989, ISBN 0-716-71933-9