正则性公理

正规公理(也叫做基础公理)是 Zermelo-Fraenkel 集合论的公理之一。在一阶逻辑中，这个公理读做:

$\forall A,\exists x: (\exists z: z \in A) \implies (x \in A \land (\lnot \exist y: y \in A \land y \in x))$

换句话说:

所有非空集合 A 包含一个元素 x 它不相交于 A。

$\forall A,\exists x \in A : A \neq \varnothing \implies x \cap A = \varnothing$

从这个公理得出两个结果，其一为“没有集合是自身的元素”，其二为“没有无限序列 a_n 使得对于所有 i，a_i+1 是 a_i 的元素”。

通过选择公理，这个结果是可逆的: 如果没有这种无限序列，则正规公理为真。所以两个陈述是等价的。

正规公理被争论为Zermelo-Fraenkel 集合论中最少用处的成分，因为数学分支中的所有关键性结果都基于缺席这种正规性的集合论。此外忽略正规公理，非标准集合论实际上假定了是自身的元素的集合的存在。

基本蕴涵

没有集合是自身的元素

设 A 是一个集合，使得 A 是自身的一个元素，并定义 B = {A}，它是通过配对公理得到的集合。应用正规公理于 B，我们见到 B 的唯一元素，也就是 A，必须不相交于 B。但是 A 和 B 的交集就是 B。所以 B 不满足正规公理并得到一个矛盾，这证明了 A 不存在。

没有无限递减的集合序列存在

设 f 是自然数的函数，对每个 n，f(n+1) 都是 f(n) 的一个元素。定义 f 的值域 S = {f(n): n 是自然数}，在函数的形式定义上可以被看做是一个集合。应用正规公理于 S，设 f(k) 是 S 的一个元素，它不相交于 S。但是通过 f 和 S 的定义，f(k) 和有 S 有一个公共元素(就是 f(k+1))。这是个矛盾，所以没有这样的 f 存在。

注意这个论证只适用于是集合(不是不可定义的类)的 f。继承有限集合 V_ω 满足正规公理。所以如果你形成了一个非平凡的超能力的 V_ω，则它也将满足正规公理。但是它将包含无限递减的元素序列。例如，假定 n 是非标准自然数，则 $(n-1) \in n$ 和 $(n-2) \in (n-1)$ 等等，对于任何实际的自然数 k 有 $(n-k-1) \in (n-k)$。所以这是个不终结的递减的元素序列。但是这个序列在这个模型中是不可定义并因此不是集合。所以没有对于正规公理的矛盾是可以证明的。

假定选择公理则没有无限递减的集合序列蕴涵正规公理

设非空集合 S 是正规公理的反例；就是说 S 的所有元素都与 S 有非空交集。设 g 是 S 的选择函数，就是说对于 S 的每个非空子集 s，g(s) 是 s 的一个元素的映射。现在递归的定义在非负整数上的函数为如下:

$f(0) = g(S)\,\!$

$f(n+1) = g(f(n) \cap S).\,\!$

那么对于每个 n，f(n) 是 S 的一个元素，并且因此它与 S 的交集是非空的， 所以 f(n+1) 是良好定义的，并且是 f(n) 的一个元素。所以 f 是无限递减链。这是一个矛盾，所有没有这样 S 存在。

确使有序对 (a,b) 可定义为 {a,{a,b}}

这个定义消除了有序对的 Kuratowski 规范定义 (a,b) = {{a},{a,b}} 中的一对花括号。

良基性和超集合

在 1917 年，Dmitry Mirimanov(也拼写为 Mirimanoff)介入了良基性概念:

一个集合 x₀ 是良基的，当且仅当它没有无限递减成员关系序列:

· · · $\in x_2 \in x_1 \in x_0.$

在 ZFC 中通过正规公理而没有无限递减 ∈序列。实际上，正规公理经常叫做基础公理，因为可以证明 ZFC- (没有正规公理的 ZFC)中良基性蕴涵了正规性。

在没有正规公理的 ZFC 变体中，引发了非良基集合的可能性。当在这种系统中工作的时候，不必然良基的集合叫做超集合。明显的，如果 A ∈ A，则 A 是非良基超集合。

超集合的理论已经应用于计算机科学(进程代数和最终语义)、语言学(情景理论)和哲学(谎言者悖论)中。

周知有三个不同的反基础公理:

1. AFA (反基础公理) — 提出自 M. Forti 和 F. Honsell；
2. FAFA (Finsler 的 AFA) — 提出自 P. Finsler；
3. SAFA (Scott 的 AFA) — 提出自 Dana Scott。

其中第一个 AFA 是基于了accessible pointed graph (apg) 并声称两个超集合是相等的，当且仅当它们可被同一个 apg 描绘。在这个框架下，可以证明所谓的蒯因原子，形式上定义为 Q={Q} 存在并且唯一。

值得强调的是超集合理论是经典集合论的扩展而非替代者: 在超集合领域内的良基集合符合经典集合论。可以在新基础或正集合论(或更一般的说带有是自身的元素的全集的任何集合论)中找到的非良基种类是非常不同的。

罗素悖论和正规公理的联系

罗素悖论是通过构造“不包含自身作为成员的所有集合的集合”而得出的悖论，它导致了在朴素集合论内的矛盾；这个悖论证明了不能使用集合论的任何相容的公理集合来构造这个集合。因为正规公理蕴涵了没有集合包含自身作为成员，自然要问在 Zermelo-Fraenkel 集合论(ZF)中正规公理的存在是否在这种设置下解决了罗素悖论。它没有解决，如果 ZF 公理没有正规公理就已经是不相容的，则增加正规公理不能使它相容。在罗素悖论中指名的集合在 ZF 中不能被明确构造的原因是这里对分类公理增加了一个限制导致它形成的每个新集合都是现存的集合的子集。不包含自身的所有集合的搜集因而被看作是真类。

參考文獻

• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

外部链接

• http://www.trinity.edu/cbrown/topics_in_logic/sets/sets.html contains an informative description of the axiom of regularity under the section on Zermelo-Fraenkel set theory.
• PlanetMath上Axiom of Foundation的資料。