在抽象代數中,一個環 上的平坦模是一個 -模 ,使得函子 保持序列的正合性;若此函子還是忠實函子,則稱之為忠實平坦模
域上的向量空間都是平坦模。自由模或更一般的射影模也是平坦模。對於一個局部諾特環上的有限生成模,平坦性、射影性與自由性三者等價。
自塞爾的論文《代數幾何與微分幾何》以降,平坦性便在同調代數與代數幾何中扮演重要角色。其幾何意義甚深,詳見條目平坦態射。
當 為交換環,一個 -模的平坦性等價於 是個從 -模到-模之正合函子。
將環 對一個積性子集 的局部化 視作 -模,則它是平坦的。
當 是諾特環而 是有限生成 -模時,平坦性在下述意義等價於局部自由模: 是平坦 -模若且唯若對任何素理想 ,局部化 是自由 -模。事實上,對條件中的 僅須考慮極大理想即可。
當 非交換時的定義須作如下修改:假設 是左 -模,則稱之左平坦模,若且唯若對 的張量積將右 -模的正合序列映至阿貝爾群的正合序列。
環上的張量積總是右正合函子,所以左 -模 是平坦模的充要條件是:對任何右 -模的單射 ,取張量積後的同態 仍為單射。
一般來說,平坦模的歸納極限仍是平坦模;此陳述可由 與 的伴隨性質形式地推出。平坦模的子模與商模不一定是平坦模,然而我們有下述定理:一個平坦模的同態像是平坦模,若且唯若其核為純子模。
Lazard 在1969年證明了:模 平坦的充要條件是它可表成有限生成自由模的歸納極限。由此可知有限展示的平坦模都是射影模。
一個阿貝爾群是平坦 -模的充要條件是其中沒有撓元。
平坦性也可以用Tor函子的消沒性表示。Tor函子是張量積的左導函子。一個左 -模 的平坦性等價於 ;類此,一個右 -模 的平坦性等價於 。藉Tor函子的長正合序列可以導出下列關於基本性質:
考慮短正合序列
- 若 平坦,則 亦然。
- 若 平坦,則 亦然。
- 若 平坦, 不一定平坦;若假設 是 的純子模而 平坦,則可推出 與 皆平坦。
設 為交換環, 為一理想,則我們有下述平坦性的局部判準。
定理(Bourbaki). 以下諸條件等價:
- 是平坦 -模。
- 是平坦 -模,且 。
- 是平坦 -模,且典範同態 為同構。
- 對所有 -模 ,有 。
- 對所有 -模 ,有 。
- 對所有 , 是平坦 -模。
- 是平坦 -模,且典範態射 為同構。
此判準在代數幾何中的用途尤大。
一個模 的平坦分解是如下形式的正合序列:
使得其中每個 都是平坦模。
任何射影分解都是平坦分解。
一個 -模 被稱作忠實平坦的,若且唯若 是個忠實的正合函子。這也就是說:
- 是個平坦 -模。
- 典範映射 是單射。
當 為交換環時,有以下幾種等價的刻劃:
- 是忠實平坦的。
- 是平坦的,且 。
- 是平坦的,且對所有極大理想 都有 。
- 一個序列 正合,若且唯若 正合。
- Multilinear Algebra, Northcott D.G, 1984, Cambridge University Press - page 33
- Eisenbud, David. Commutative algebra with a view toward algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics 150. New York: Springer-Verlag. 1995: xvi+785. ISBN 978-0-387-94268-1.