邏輯與
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在邏輯和數學中,邏輯合取或邏輯與或且是一個二元邏輯運算符。如果其兩個變量的真值都為「真」,其結果為「真」,否則其結果為「假」。[1][2][3]
相關名稱
[編輯]- 基本符號:
- 英文名:logical conjunction
- 中文名:邏輯與,合取,交集,按位與,邏輯乘,與門,...
- 命題邏輯中的二元連接詞合取,是一個兩元算子,集合論中的交集算子,二進制中的邏輯乘算子,按位與(Bitwise AND),邏輯門中的「與」門(AND gate),編程語言中的&或and運算符等等。
基本定義
[編輯]- 邏輯與(logical conjunction)是兩個邏輯變量的一種運算,經常是兩個命題的運算。它滿足:當且僅當其兩個變量的真值都為真時,其結果為真。
- 邏輯與是個二元算子,運算結果取值為真的條件是,當且僅當兩個命題的取值都真時。命題是取值要麼是真要麼是假的二值語句,沒有第三種取值,或說值域為{真,假}或是{T,F}或是{0,1}。未知真又未知假的語句是猜想;既真又假,既不真又不假的語句是悖論。
A與B的真值表(也寫作AB(邏輯學),A && B(計算機科學),或AB(電子學))。
的真值表:
輸入 | 輸出 | |
真 | 真 | 真 |
真 | 假 | 假 |
假 | 真 | 假 |
假 | 假 | 假 |
推理規則
[編輯]合成與分解規則
[編輯]合取引入規則
[編輯]合取引入規則(∧+)(conjunction introduction rule)或聯言推理的合成式,是經典邏輯中簡單且有效的論證形式。這個論證形式有兩個前提,A和B,可以直觀地推出他們的合取。
其形式如下:
- A,
- B.
- 因此A且B.
形式化為:
下面的例子是滿足聯言推理的合成式的論證:
- 小橘子是正妹。
- 小橘子是車神。
- 因此小橘子是正妹也是車神。
另一個例子如下:
- 1小於2
- 6大於5
- 因此,1小於2,而且6大於5。
還有一個例子如下:
- 有一些PSPACE問題不是NL問題
- 有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題
- 因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題,而且有一些PSPACE問題不是NL問題
合取消去規則
[編輯]合取消去規則(∧-)(Conjunction elimination rule)或聯言推理的分解式,是另一個在經典邏輯中簡單且有效的論證形式。從任何合取式中都可以直觀地推論出兩個前提中的任意一個。
其形式如下:
- A且B。
- 因此A。
...或者,
- A且B.
- 因此B.
用邏輯運算符描述為,
形式化為:
或者,
例如:
或者
- 有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題,而且有一些PSPACE問題不是NL問題
- 因此有一些EXPSPACE問題不是PSPACE問題
另一個例子如下:
- 1小於2,而且6大於5。
- 因此1小於2。
或者
- 1小於2,而且6大於5。
- 因此6大於5。
還有一個例子如下:
- 小橘子是正妹也是車神。
- 因此小橘子是正妹。
或者
- 小橘子是正妹也是車神。
- 因此小橘子是車神。
性質
[編輯]邏輯與滿足以下性質:
- 結合律:
- 交換律:
- 分配律:
- 冪等律:
- 單調性:
- 保真性: 所有變量的真值皆為「真」的命題在邏輯與運算後的結果為真。
- 保假性: 所有變量的真值皆為「假」的命題在邏輯與運算後的結果為假。
如果用二進制來表達真(1)和假(0),邏輯與運算與算術乘法運算一致。
計算機科學中的運用
[編輯]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/41/AND_Gate_diagram.svg/220px-AND_Gate_diagram.svg.png)
位運算
[編輯]邏輯與常在位運算中使用,比如:
- 0 and 0 = 0
- 0 and 1 = 0
- 1 and 0 = 0
- 1 and 1 = 1
- 1100 and 1010 = 1000
編程中的使用
[編輯]在高等計算機編程中,邏輯合取「與」通常由內置算符and或&號來表達。很多編程語言還提供與邏輯與相應的短路求值控制結構。
布爾「與」也在SQL的運算符中使用。有些數據庫區分大小寫,需要"AND"符號。
在計算機科學中,AND運算符可以用來構造位屏蔽,以選擇二進制序列的一部分。比如10011101 AND 00001000 = 00001000
用來取二進制序列的第五位。
交集運算
[編輯]集合論中的交運算是用邏輯與來定義的:x ∈ A ∩ B當且僅當(x ∈ A) ∧ (x ∈ B)。因此邏輯與有很多與交集運算相同的性質,諸如結合律,交換律,分配律,及德·摩根定律。
註釋
[編輯]- ^ Comprehensive List of Logic Symbols. Math Vault. 2020-04-06 [2020-09-02]. (原始內容存檔於2021-05-13) (美國英語).
- ^ Conjunction, Negation, and Disjunction. philosophy.lander.edu. [2020-09-02]. (原始內容存檔於2021-04-21).
- ^ 2.2: Conjunctions and Disjunctions. Mathematics LibreTexts. 2019-08-13 [2020-09-02]. (原始內容存檔於2020-11-05) (英語).
參見
[編輯]相關網頁
[編輯]- Wolfram Mathematics Conjunction (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- All Math Words Encyclopedia Conjunction (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)
- Hazewinkel, Michiel (編), Conjunction, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Property and truth table of AND propositions. (原始內容存檔於May 6, 2017).
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