凯莱定理

在群论中，凯莱定理（英语：Cayley's Theorem）声称所有群 $G$ 都与在 $G$ 上的对称群 $S_{G}$ 的一个子群同构。这代表我们可以将 $G$ 的群运算视为在 $G$ 的元素上的群作用。该定理以英国数学家阿瑟·凯莱命名。

集合 $G$ 的置换是任何从 $G$ 到 $G$ 的双射函数。由所有置合构成集合与函数复合共同构成了一个群，称为“ $G$ 上的对称群”，并记为 ${\text{Sym}}(G)$。

凯莱定理通过把任何群（包括无限群，如 $(\mathbb {R} ,+)$）都当作某个底层集合的置换群，把所有群都放在了同一个根基上。因此，对置换群成立的定理对于一般群也成立。

历史

Burnside 将其归功于Jordan，但是 Eric Nummela争论说这个定理的名字“凯莱定理”事实上是合适的。凯莱在他最初介绍群概念的1854年论文中证明了定理中的对应是一一对应，但是没能明确的证明它是同态(因此是同构)。但是，Nummela提示大家注意凯莱让当时的数学界知道了这个结果，因此比Jordan要提前了16年。

定理的证明

令 $G$ 为一个群，由逆元的唯一性可以得出对于任何 $G$ 中元素 $g$ ，有 $g\cdot G=G$ ，以及 $gx=gy\iff x=y$ 其中 $\iff$ 是逻辑关系当且仅当的记号。所以左乘 $g$ 充当了双射函数 $f_{g}:G\rightarrow G$ ，其定义为 $f_{g}(x)=g\cdot x$。所以， $f_{g}$ 是 $G$ 的置换，并因此是 ${\text{Sym}}(G)$ 的一个元素。

如下定义 ${\text{Sym}}(G)$ 的子集 $K$

$K=\{f_{g}\mid g\in G;$ 并且对所有$x\in G$ 有 $f_{g}(x)=g\cdot x\}$

$K$ 是同构于 $G$ 的一个子群。得出这个结果的最快方式是考虑函数 $T:G\rightarrow {\text{Sym}}(G)$ ， $T(g)=f_{g}$ 。(对 ${\text{Sym}}(G)$ 中的复合使用"·")， $T$ 是一个群同态，这是因为所有 $G$ 中的 $x$ ，有

$(f_{g}\cdot f_{h})(x)=f_{g}(f_{h}(x))=f_{g}(h\cdot x)=g\cdot (h\cdot x)=(g\cdot h)\cdot x=f_{g\cdot h}(x)$

$T(g)\cdot T(h)=f_{g}\cdot f_{h}=f_{g\cdot h}=T(g\cdot h)$

同态 $T$ 也是一个单射，因为 $T(g)=id_{G}$ （${\text{Sym}}(G)$ 中的单位元）蕴含了对于所有 $G$ 中使得 $g\cdot x=x$ 的 $x$ 。选取x为G的单位元e产生g = g*e = e。

另一个 $T$ 为单射的证明是因为可以从 $g\cdot x=g\cdot x'$ 推出 $x=x'$ 。

因此 $G$ 同构于 $T$ 的像，即子群 $K$ 。

$T$ 有时叫做 $G$ 的正规表示。

另一个的证明

另一个证明使用了群作用的概念。考虑群$G$为G-集合，可以证明它有置换表示$\phi$。

首先假设$G=G/H$带有$H=\{e\}$。则根据G-轨道分类这个群作用是$g.e$（也叫做轨道-稳定集定理）。

现在这个表示是忠实的，如果$\phi$是单射，就是说，如果$\phi$的核是平凡的。假设$g$ ∈ ker $\phi$，则$g=g.e=\phi (g).e$，通过置换表示和群作用的等价性。但是因为$g$ ∈ ker $\phi$, $\phi (g)=e$并因此ker $\phi$是平凡的。则im $\phi <G$并因此利用第一同构定理得出结论。

对正规群表示的注记

单位元对应于恒等置换。所有其他的群元素对应于不留下任何元素不变的置换。会因为这也适用于群元素的幂，小于这个元素的阶，每个元素对应于由相同长度的环构成的置换：这个长度是这个元素的阶。在每个环中的元素形成了这个元素生成的子群的左陪集。

正规群表示的例子

Z₂ = {0,1}带有模2加法，群元素0对应于恒等置换e，群元素1对应于置换 (12)。

Z₃ = {0,1,2}带有模3加法；群元素0对应于恒等置换e，群元素1对应于置换 (123)，而群元素2对应于置换 (132)。比如1 + 1 = 2对应于 (123)(123)=(132)。

Z₄ = {0,1,2,3}带有模4加法；它的元素对应于e, (1234), (13)(24), (1432)。

克莱因四元群{e, a, b, c}的元素对应于e, (12)(34), (13)(24)和 (14)(23)。

S₃（6阶二面体群）是三个对象的所有置换的群，但也是6个群元素的置换群：

*	e	a	b	c	d	f	置换
e	e	a	b	c	d	f	e
a	a	e	d	f	b	c	(12)(35)(46)
b	b	f	e	d	c	a	(13)(26)(45)
c	c	d	f	e	a	b	(14)(25)(36)
d	d	c	a	b	f	e	(156)(243)
f	f	b	c	a	e	d	(165)(234)

参见

• 米田引理