雙三斜十二面體

六階五邊形二十四面體
類別	抽象正多面體（英語：Abstract_polytope）
對偶多面體	五階六邊形二十面體
數學表示法
施萊夫利符號	{5,6}4
性質
面	24
邊	60
頂點	20
歐拉特徵數	F=24, E=60, V=20 （χ=-16）
虧格	9
組成與佈局
面的種類	五邊形
對稱性
對稱群	S5， 120元素
	閱; 論; 編;

雙三斜十二面體
類別	均勻星形多面體
對偶多面體	內側三角六邊形二十面體
識別
名稱	雙三斜十二面體
參考索引	U41, C53, W80
鮑爾斯縮寫; （verse-and-dimensions的wikia：Bowers acronym）	ditdid
數學表示法
威佐夫符號; （英語：Wythoff symbol）	3 \| 5/3 5; 3/2 \| 5 5/2; 3/2 \| 5/3 5/4; 3 \| 5/2 5/4
性質
面	24
邊	60
頂點	20
歐拉特徵數	F=24, E=60, V=20 （χ=-16）
組成與佈局
面的種類	12個正五邊形{5}; 12個五角星{5/2}
面的佈局; （英語：Face configuration）	12{5}+12{5/2}
頂點圖	(5.5/3)3
對稱性
對稱群	Ih, [5,3], *532
圖像
	; (5.5/3)3; （頂點圖）
	; 內側三角六邊形二十面體; （對偶多面體）
	閱; 論; 編;

在幾何學中，雙三斜十二面體^[1]是非凸均勻多面體中的一種星形多面體，其索引編號為U₄₁。溫尼爾在他的書《多面體模型》中列出許多星形多面體模型，其中也收錄了此種形狀，並給予編號W₈₀^[2]。其可以視為小雙三斜三十二面體經過刻面（英語：faceting）後的多面體^[3]。

雙三斜十二面體的對偶多面體是一種星形二十面體，是由凹六邊形組成的內側三角六邊形二十面體。

性質

雙三斜十二面體共有24個面、60條邊和20個頂點^[4]^[5]。

面的組成

雙三斜十二面體由24個面組成，其24個面中，有12個五邊形和12個五角星，每個面都是3個五邊形和3個五角星的公共頂點。

頂點座標

邊長為單位長，且幾何中心位於原點的雙三斜十二面體的頂點座標為^[6]^[7]：

(0,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}})

、

(\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},0,\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}})

、

(\pm {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}},\pm {\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}},0)

、

(\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}},\pm {\frac {1}{2}})

。

二面角

雙三斜十二面體的二面角為五平方根倒數的反餘弦值^[8]：

\cos ^{-1}({\frac {\sqrt {5}}{5}})\approx 1.1071\approx 63.4349^{\circ }

對偶多面體

雙三斜十二面體的對偶多面體是內側三角六邊形二十面體，是一個具有20個面、60條邊和24個頂點，由20個全等的凹六邊形構成的星形多面體。

相關多面體

由於雙三斜十二面體的凸包是正十二面體，且也無任何頂點位於其凸包內部，因此會與其他凸包為正十二面體、無頂點位於其凸包內部的多面體有相同的頂點排佈，例如小雙三斜三十二面體和大雙三斜三十二面體。另外，其稜排佈也與小雙三斜三十二面體、大雙三斜三十二面體和五複合立方體相同。其中，雙三斜三十二面體相同的原因是因為擁有共同的五角星面、大雙三斜三十二面體亦相同的原因是因為擁有擁有共同的五邊形面。

a{5,3}	a{5/2,3}	b{5,5/2}
=	=	=
小雙三斜三十二面體	大雙三斜三十二面體	雙三斜十二面體
正十二面體 (凸包)	五複合立方體

此外，其可以視為正十二面體刻面（英語：faceting）後的多面體：將五邊形面改成位在正十二面體內部可能的五邊形內，其餘以五角星面填滿剩下的部碎形成封閉的多面體。

對偶多面體

雙三斜十二面體的對偶多面體為內側三角六邊形二十面體，是一種星形二十面體。但由於其與《五十九種二十面體》中收錄的大三角六邊形二十面體有些許不同，因此被描述為「遺失的星形二十面體」^[9]^[10]。

拓樸正多面體

由於雙三斜十二面體的五角星形面可經由拓樸變形變為五邊形面，因此，這種形狀在拓樸中相當於六階五邊形鑲嵌的商空間。

因此在另外一個索引中也被看作是一種抽象（英語：Abstract_polytope）的正多面體^[11]。

雙三斜十二面體在拓樸學上由24個五邊形組成，且每個頂點都是6個五邊形的公共頂點，因此在拓樸學上滿足抽象正多面體的定義。^[11]^[12]^[13]然而這種抽象面體若是具象化為雙三斜十二面體則僅能具象化一半的對稱性。這種抽象正多面體可以對應到虧格為9的六階五邊形正則地區圖（施萊夫利符號：{5,6}₄）^[14]，對應的皮特里多邊形為四邊形^[14]。

其他四種抽象正多面體（英語：Abstract_polytope）為：

多面體	內側菱形三十面體	截半大十二面體	內側三角六邊形二十面體	雙三斜十二面體	凹五角錐十二面體
種類	{4,5}₆	{5,4}₆	{6,5}₄	{5,6}₄	{6,6}₆
頂點圖	{5}, {5/2}	(5.5/2)²	{5}, {5/2}	(5.5/3)³
面	30個菱形	12個五邊形 12個五角星	20個六邊形	12個五邊形 12個五角星	20個六邊形
鑲嵌	{4, 5}	{5, 4}	{6, 5}	{5, 6}	{6, 6}
χ	−6	−6	−16	−16	−20

對偶複合體

雙三斜十二面體與其對偶的複合體為複合雙三斜十二面體內側三角六邊形二十面體。其共有44個面、120條邊和44個頂點，其尤拉示性數為-32，虧格為17，有32個非凸面，在威佐夫記號中以(3 5/3 | 5)表示^[15]。

參見

大雙三斜三十二面體

參考文獻

^ Polyhedra 多面體: 41) 雙三斜十二面體 (Ditrigonal Dodecadodecahedron). 元朗商會中學. （原始內容存檔於2016-09-01）.
^ Wenninger, Magnus（英語：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
^ Weisstein, Eric W. (編). Ditrigonal Dodecadodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.
^ ditrigonal dodecadodecahedron. bulatov.org. （原始內容存檔於2016-03-26）.
^ Uniform Polyhedra 41: ditrigonal dodecadodecahedron. mathconsult. （原始內容存檔於2015-12-17）.
^ Jean Paul Albert Badoureau, Mémoire sur les Figures Isocèles, Journal de l'École polytechnique 49 (1881), 47-172.
^ Data of Ditrigonal Dodecadodecahedron. dmccooey.com. （原始內容存檔於2016-09-01）.
^ Versi-Regular Polyhedra: Ditrigonal Dodecadodecahedron. dmccooey.com. （原始內容存檔於2016-03-24）.
^ Guy's polyhedra pages. Some lost stellations of the icosahedron. steelpillow. 2006-07-11. （原始內容存檔於2016-03-13）. Index Number: 303, Precursor: BnGn, Du Val symbol: De₂f₂
^ G. Inchbald, In search of the lost icosahedra, Math. Gaz. 86 (July 2002) pp. 208-215.
^ ^11.0 ^11.1 David A. Richter. The Regular Polyhedra (of index two). 西密西根大學. （原始內容存檔於2016-03-04）.
^ Regular Polyhedra of Index Two, I （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Anthony M. Cutler, Egon Schulte, 2010
^ Regular Polyhedra of Index Two, II （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357–387 · November 2010, Table 3, p.27
^ ^14.0 ^14.1 R9.16. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-10-16]. （原始內容存檔於2021-10-16）.
^ compound of ditrigonal dodecadodecahedron and medial triambic icosahedron. bulatov.org. （原始內容存檔於2015-09-06）.

外部連結

埃里克·韋斯坦因. 雙三斜十二面體. MathWorld.

[3] Polyhedra 多面體: 41) 雙三斜十二面體 (Ditrigonal Dodecadodecahedron). 元朗商會中學. （原始內容存檔於2016-09-01）.

[4] Wenninger, Magnus（英語：Magnus J. Wenninger）. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.

[5] Weisstein, Eric W. (編). Ditrigonal Dodecadodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英語）.

[6] trigonal dodecadodecahedron. bulatov.org. （原始內容存檔於2016-03-26）.

[7] Uniform Polyhedra 41: ditrigonal dodecadodecahedron. mathconsult. （原始內容存檔於2015-12-17）.

[8] Jean Paul Albert Badoureau, Mémoire sur les Figures Isocèles, Journal de l'École polytechnique 49 (1881), 47-172.

[dmccooeydata-9] Data of Ditrigonal Dodecadodecahedron. dmccooey.com. （原始內容存檔於2016-09-01）.

[10] Versi-Regular Polyhedra: Ditrigonal Dodecadodecahedron. dmccooey.com. （原始內容存檔於2016-03-24）.

[11] Guy's polyhedra pages. Some lost stellations of the icosahedron. steelpillow. 2006-07-11. （原始內容存檔於2016-03-13）. Index Number: 303, Precursor: BnGn, Du Val symbol: De₂f₂

[12] G. Inchbald, In search of the lost icosahedra, Math. Gaz. 86 (July 2002) pp. 208-215.

[David_A._Richter-15] 11.0 ^11.1 David A. Richter. The Regular Polyhedra (of index two). 西密西根大學. （原始內容存檔於2016-03-04）.

[16] Regular Polyhedra of Index Two, I （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Anthony M. Cutler, Egon Schulte, 2010

[17] Regular Polyhedra of Index Two, II （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Beitrage zur Algebra und Geometrie 52(2):357–387 · November 2010, Table 3, p.27

[Regular_Map_R9.16-18] 14.0 ^14.1 R9.16. Regular Map database - map details, weddslist.com. [2021-10-16]. （原始內容存檔於2021-10-16）.

[19] und of ditrigonal dodecadodecahedron and medial triambic icosahedron. bulatov.org. （原始內容存檔於2015-09-06）.

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閱論編均勻多面體
四面體群對稱	正四面體截角四面體四面半六面體
八面體群對稱	立方體正八面體截角立方體截角八面體截半立方體小斜方截半立方體大斜方截半立方體扭棱立方體八面半八面體立方半八面體小斜方立方體小立方立方八面體非凸大斜方截半立方體星形截角立方體大斜方立方體大立方截半立方體立方截角立方八面體星形截角截半立方體
二十面體群對稱	正十二面體正二十面體小星形十二面體大十二面體大星形十二面體大二十面體截角十二面體截半二十面體截角二十面體小斜方截半二十面體大斜方截半二十面體扭棱十二面體大雙三斜三十二面體小十二面半十二面體大十二面半十二面體小十二面半二十面體大十二面半二十面體小二十面半十二面體大二十面半十二面體小十二面二十面體大十二面二十面體斜方二十面體小斜方十二面體大斜方十二面體小十二面截半二十面體大十二面截半二十面體小雙三角十二面截半二十面體大雙三角十二面截半二十面體小二十面化截半二十面體大二十面化截半二十面體雙三斜十二面體小雙三斜三十二面體大截半二十面體截角大十二面體截半大十二面體小星形截角十二面體大星形截角十二面體截角大二十面體斜方截半大十二面體非凸大斜方截半二十面體二十面截角十二面十二面體二十面化截半大十二面體截角截半大十二面體大截角截半二十面體大二重斜方截半二十面體大二重扭稜二重斜方十二面體完全扭稜二十面體小反屈扭稜二十面截半二十面體大反屈扭稜截半二十面體扭稜小星形十二面體反扭稜小星形十二面體扭稜大星形十二面體反扭稜大星形十二面體大扭稜十二面截半二十面體扭稜二十面化截半大十二面體
其他	柱狀均勻多面體星形均勻多面體