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機率

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概率,又稱或然率機會率機率可能性,是數學機率論的基本概念,是一個在0到1之間的實數,是對隨機事件發生之可能性的度量[1]

機率常用來量化對於某些不確定命題的想法[2],命題一般會是以下的形式:「某個特定事件會發生嗎?」,對應的想法則是 :「我們可以多確定這個事件會發生?」。確定的程度可以用0到1之間的數值來表示(0表示不可能發生,1表示一定會發生),這個數值就是機率[3]。因此若事件發生的機率越高,表示我們越認為這個事件可能發生。像丟銅板就是一個簡單的例子,正面朝上及背面朝上的兩種結果看來機率相同,每個的機率都是1/2,也就是正面朝上及背面朝上的機率各有50%。

這些概念可以形成機率論中的數學公理(參考機率公理),在像數學統計學金融博弈論科學(特別是物理)、人工智慧/機器學習電腦科學哲學學科中都會用到。機率論也可以描述複雜系統中的內在機制及規律性[4]

歷史[編輯]

第一個系統地推算機率的人是16世紀的卡爾達諾[5]。記載在他的著作Liber de Ludo Aleae中。書中關於機率的內容是由Gould從拉丁文翻譯出來的。

Cardano的數學著作中有很多給賭徒的建議。這些建議都寫成短文。例如:《誰,在什麼時候,應該賭博?》、《為什麼亞里士多德譴責賭博?》、《那些教別人賭博的人是否也擅長賭博呢?》等。

然而,首次提出系統研究機率的是在帕斯卡費馬來往的一系列信件中。這些通信最初是由帕斯卡提出的,他想找費馬請教幾個關於由Chevvalier de Mere提出的問題。Chevvalier de Mere是一知名作家,路易十四宮廷的顯要,也是一名狂熱的賭徒。問題主要是兩個:擲骰子問題和比賽獎金應分配問題。

印度各地天災風險機率

概念[編輯]

在日常生活中,我們常常會遇到一些涉及可能性或發生機會等概念的事件(event)。一個事件的可能性或一個事件的發生機會是與數學有關的。例如:

「從一班40名學生中隨意選出一人,這人會是男生嗎?」

事實上,人們問「……可能會發生嗎?」時,他們是在關注這個事件發生的機會。在數學上,事件發生的機會可用一個數來表示。我們稱該數為機率(Probability)。

我們日常所見所聞的事件大致可分為兩種:

一種是確定性事件。確定性事件包含必然事件和不可能事件。 如太陽從東方升起,或者在標準大氣壓下,水在100℃時會沸騰。我們稱這些事件為必然事件。 如擲一個普通的骰子,向上一面的數字是7。我們稱這些事件為不可能事件。

此外,有大量事件在一定條件下是否發生,是無法確定的。如明天的氣溫比今天低、擲一枚硬幣得正面向上,又或者在下一年度的NBA比賽中,芝加哥公牛隊會奪得全年總冠軍。像以上可能發生也可能不會發生的事件稱為隨機事件。

理論[編輯]

機率論是一種用正式的用語表達機率概念的方式,這些詞語可以用數學及邏輯的規則處理,結果再轉換到和原來問題有關的領域。

至少有兩種成功的將機率公式化的理論,分別是柯爾莫哥洛夫公式化以及考克斯英語Cox公式化。在柯爾莫哥洛夫公式化(參考機率空間)中,用集合代表事件,機率則是對集合的測度。在考克斯定理英語Cox's theorem中,機率是不能再進一步分析的基元,強調在機率值及命題之間建立一致性的關係。在二種公式化方法中,機率公理都相同,只有一些技術細節不同。

有其他量度不確定性的方式,例如Dempster-Shafer理論英語Dempster–Shafer theory或是可能性理論英語possibility theory,但兩者都有本質上的不同,無法和一般了解的機率論相容。

應用[編輯]

機率的概念常常應用在生活中,例如風險評估及以金融市場的交易等。政府也在環境法中應用機率,稱為路徑分析(pathway analysis)。例如中東衝突可能會對油價有某程度的影響,而油價對世界經濟可能會有漣漪效應的影響。某個油品交易商認為中東衝突會使油價上昇或下降,並將他的意見提供給其他交易商。因此機率不是各自獨立的進行評估,評估的過程也不一定足夠合理。行為經濟學就是描述團體迷思對定價、政策甚至和平或衝突的影響[6]

有關機率評估及組合的嚴謹方式也改變了社會。對大部份的社會大眾而言,重要的是了解機率評估的方式以及機率和決策之間的關係。

機率理論另一個明顯的應用是可靠度理論英語Reliability theory。像汽車及消費性產品會在產品開發時應用可靠度理論來減少產品失效的機率。失效機率會影響廠商在產品保用證上的決策[7]

自然語言處理中用的快取語言模型英語cache language model及其他語言模型等也屬於是機率理論的應用。

數學處理[編輯]

事件A的機率一般會寫成P(A)、p(A)或Pr(A)[8]。機率的數學概念可以延伸到無限的樣本空間甚至不可數的樣本空間,但需要用上機率測度的概念。

機率的公理化定義將機率的相關範疇從具體問題中抽象出來,從而可以在數學意義下考察機率的相關概念和由之引出的問題。以下給出機率的公理化定義:

設隨機事件的樣本空間為Ω,Ω的一個子集稱為事件。對於Ω中的每一個事件A,都有實函數P(A),滿足:

  1. 非負性: P(A) \geq 0
  2. 規範性:P( \Omega ) = 1
  3. 可數可加性:對可數個兩兩互斥事件{Ai}i∈N有:{\displaystyle\sum_{i=1}^{\infty}P(A_{i})=P\left( \bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i}\right)}

任意一個滿足上述條件的函數P都可以作為樣本空間Ω的機率函數,稱函數值P(A)為Ω中事件A的機率。

表示機率[編輯]

一個事件的機率值通常以一個介於0到1的實數來表示。一個不可能事件其機率值為0,而確定事件其機率值則為1。 但反推並不成立,也就是說機率值為0的事件不表示它就是一個不可能事件,同理,機率值為1的事件不表示它就一定發生。例如,在一個正方形內作一條線段,由於這條線段的面積是0,所以一個點落在這條線段上的機率就是0,但它並不是不可能事件。

實際上大多數的機率值都是介於0與1之間的數,這個數示代表事件在'不可能發生'與'確定發生'之間的相對位置。事件的機率值越接近1,事件發生的機會就越高。

舉例來說,假設兩個事件有相同的發生機率,就像被拋擲而落地的銅板不是正面向上就是反面向上一樣,但是我們不能說:每2次拋擲會出現1次,只能說事件發生的機率是平均每2次出現一次,或說是 "50%" 或 "1/2"。

分布[編輯]

機率分布函數是一個把機率分配給事件或者命題的函數。對於任何一個事件或者命題,總有很多分配機率的方法,所以選擇不同的分布等同於對一個問題中的事件或者命題作出不同的假設。

分布還可分為「離散」和「連續」的。

機率計算總結[編輯]

機率計算總結
事件 機率
A P(A)\in[0,1]\,
非A P(A^c)=1-P(A)\,
A或B \begin{align}
P(A\cup B) & = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\
P(A\cup B) & = P(A)+P(B) \qquad\mbox{if A and B are mutually exclusive} \\
\end{align}
A和B \begin{align}
P(A\cap B) & = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)\\
P(A\cap B) &  = P(A)P(B) \qquad\mbox{if A and B are independent}\\
\end{align}
B的情況下A的機率 P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \,

和隨機的關係[編輯]

牛頓力學的概念中,決定論的世界中,若所有條件都是已知,都沒有任何機率性的成份在內(拉普拉斯的惡魔),不過有可能一些系統對初始條件敏感,敏感程度甚至到超過可能量測的範圍。以俄羅斯輪盤為例,若手的施力,出力的時間等資訊已知,輪盤最後停止的位置是可以計算而得的,不過此時需要知道輪盤的慣量及摩擦係數,球的質量、光滑度及圓度,出力過程中手速度的變化等。此時,相較於用牛頓力學的方式分析,機率性的描述可能更適合描述重覆玩數次俄羅斯輪盤的結果。科學家發現在氣體動力論中也有類似的情形,系統理論上是確定的,但因為氣體分子個數約和阿伏伽德羅常數6.02·1023量級相當,因此也只能用機率性的描述。

在描述量子理論時一定會用到機率論[9]。二十世紀初期,物理學界有一個革命性發現,所有次原子層級的物理過程有隨機性,依循量子力學。物理的波函數是確定的,是數個狀態的疊加,但根據哥本哈根詮釋,觀察會帶來波函數塌縮,因此只能觀察到其中一個狀態。不過這種缺乏決定論的觀點未受到所有人的同意。愛因斯坦在給馬克斯·玻恩的信上提到「我相信上帝不會玩骰子。」[10]。而發現波函數的埃爾溫·薛丁格認為量子力學只是內部決定論狀態的統計近似[11]。在近代的詮釋中,量子退相干有相當的機率性質。

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

引用[編輯]

  1. ^ "Probability". Webster's Revised Unabridged Dictionary. G & C Merriam, 1913
  2. ^ "Kendall's Advanced Theory of Statistics, Volume 1: Distribution Theory", Alan Stuart and Keith Ord, 6th Ed, (2009), ISBN 9780534243128
  3. ^ William Feller, "An Introduction to Probability Theory and Its Applications", (Vol 1), 3rd Ed, (1968),Wiley ,ISBN 0-471-25708-7
  4. ^ Probability Theory The Britannica website
  5. ^ 機率空間 (1)機率論的誕生. 國科會高瞻自然科學教學資源平台. 2011-06-07 [2014-10-21] (中文). 
  6. ^ Singh, Laurie (2010) "Whither Efficient Markets? Efficient Market Theory and Behavioral Finance". The Finance Professionals' Post, 2010.
  7. ^ Gorman, Michael (2011) "Management Insights". Management Science [需要完整來源]
  8. ^ Olofsson (2005) Page 8.
  9. ^ Burgi, Mark (2010) "Interpretations of Negative Probabilities", p. 1. arXiv:1008.1287v1
  10. ^ Jedenfalls bin ich überzeugt, daß der Alte nicht würfelt. Letter to Max Born, 4 December 1926, in: Einstein/Born Briefwechsel 1916-1955.
  11. ^ Moore, W.J. Schrödinger: Life and Thought. Cambridge University Press. 1992: 479. ISBN 0-521-43767-9. 

書籍[編輯]

  • Olofsson, Peter (2005). Probability, Statistics, and Stochastic Processes, Wiley-Interscience. p. 504. ISBN 0-471-67969-0

外部連結[編輯]

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