機率

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機率,又稱或然率機會率機率可能性,是數學機率論的基本概念,是一個在0到1之間的實數,是對隨機事件發生的可能性的度量。物理學中常稱為幾率

歷史[編輯]

第一個系統地推算機率的人是16世紀的卡爾達諾。記載在他的著作Liber de Ludo Aleae中。書中關於機率的內容是由Gould從拉丁文翻譯出來的。

Cardano的數學著作中有很多給賭徒的建議。這些建議都寫成短文。例如:《誰,在什麼時候,應該賭博?》、《為什麼亞里斯多德譴責賭博?》、《那些教別人賭博的人是否也擅長賭博呢?》等。

然而,首次提出系統研究機率的是在帕斯卡費馬來往的一系列信件中。這些通信最初是由帕斯卡提出的,他想找費馬請教幾個關於由Chevvalier de Mere提出的問題。Chevvalier de Mere是一知名作家,路易十四宮廷的顯要,也是一名狂熱的賭徒。問題主要是兩個:擲骰子問題和比賽獎金應分配問題。

印度各地天災風險機率

概念[編輯]

在日常生活中,我們常常會遇到一些涉及可能性或發生機會等概念的事件(event)。一個事件的可能性或一個事件的發生機會是與數學有關的。例如:

「從一班40名學生中隨意選出一人,這人會是男生嗎?」

事實上,人們問「……可能會發生嗎?」時,他們是在關注這個事件發生的機會。在數學上,事件發生的機會可用一個數來表示。我們稱該數為機率(Probability)。

我們日常所見所聞的事件大致可分為兩種:

一種是確定性事件。確定性事件包含必然事件和不可能事件。 如太陽從東方升起,或者在標準大氣壓下,水在100℃時會沸騰。我們稱這些事件為必然事件。 如擲一個普通的骰子,向上一面的數字是7。我們稱這些事件為不可能事件。

此外,有大量事件在一定條件下是否發生,是無法確定的。如明天的氣溫比今天低、擲一枚硬幣得正面向上,又或者在下一年度的NBA比賽中,芝加哥公牛隊會奪得全年總冠軍。像以上可能發生也可能不會發生的事件稱為隨機事件。

公理化定義[編輯]

機率的公理化定義將機率的相關範疇從具體問題中抽象出來,從而可以在數學意義下考察機率的相關概念和由之引出的問題。以下給出機率的公理化定義:

設隨機事件的樣本空間為Ω,對於Ω中的每一個事件A,都有實函數P(A),滿足:

  1. 非負性: P(A) \geq 0
  2. 規範性:P( \Omega ) = 1
  3. 可加性:對n 個兩兩互斥事件A1,...,An有:{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}P(A_{i})=P\left( \bigcup_{i=1}^{n}A_{i}\right)}

任意一個滿足上述條件的函數P都可以作為樣本空間Ω的機率函數,稱函數值P(A)為Ω中事件A的機率。

表示機率[編輯]

一個事件的機率值通常以一個介於0到1的實數來表示。一個'不可能'事件其機率值為0,而'確定'事件其機率值則為1。 但反推並不成立,也就是說機率值為0的事件不表示它就是一個'不可能'事件,同理,機率值為1的事件不表示它就一定發生。例如,在一個正方形內作一條線段,由於這條線段的面積是0,所以一個點落在這條線段上的機率就是0,但它並不是不可能事件。

實際上大多數的機率值都是介於0與1之間的數,這個數示代表事件在'不可能發生'與'確定發生'之間的相對位置。事件的機率值越接近1,事件發生的機會就越高。

舉例來說,假設兩個事件有相同的發生機率,就像被拋擲而落地的銅板不是正面向上就是反面向上一樣,但是我們不能說:每2次拋擲會出現1次,只能說事件發生的機率是平均每2次出現一次,或說是 "50%" 或 "1/2"。

分布[編輯]

機率分布函數是一個把機率分配給事件或者命題的函數。對於任何一個事件或者命題,總有很多分派機率的方法,所以選擇不同的分布等同於對一個問題中的事件或者命題作出不同的假設。

分布還可分為「離散」和「連續」的。

機率計算總結[編輯]

機率計算總結
事件 機率
A P(A)\in[0,1]\,
非A P(A^c)=1-P(A)\,
A或B \begin{align}
P(A\cup B) & = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\
P(A\cup B) & = P(A)+P(B) \qquad\mbox{if A and B are mutually exclusive} \\
\end{align}
A和B \begin{align}
P(A\cap B) & = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)\\
P(A\cap B) &  = P(A)P(B) \qquad\mbox{if A and B are independent}\\
\end{align}
B的情況下A的機率 P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(B|A)P(A)}{P(B)} \,

參見[編輯]

外部連結[編輯]