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分裂域

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抽象代數中,一個係數多項式分裂域根域)是的「最小」的一個擴域,使得在其中可以被分解為一次因式的乘積,其中的中元素。一個上的多項式並不一定只有一個分裂域,但它所有的分裂域都是同構的:在同構意義上,上的多項式的分裂域是唯一的。

術語與定義

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稱一個係數的多項式 的某個擴域分裂當且僅當這個多項式可以用這個域中的元素來分解(分裂)成最簡單的一次因式的乘積:

其中的。換句話來說,都在中。

使得在其中分裂的擴域有很多,譬如對於某個使得分裂的的,它任意的擴域也都滿足。然而其中「最小」的域在同構意義上是唯一的。所謂的「最小」域,是指這樣的一個擴域

  1. 里,,可以分解為一次因式的乘積;
  2. 的任何真子域(不等於自身)里,都無法如此分解。這樣的擴域稱為上的分裂域

例子

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如果有理數域,多項式為

那麼其分裂域可以是在中添加三次單位根和2的立方根而得到的擴域:。因為這時可以寫作:

同一個多項式在不同的域上的分裂域不一定相同,比如:

  • 多項式實數域 R上的分裂域是複數域 C
  • 多項式准有限域 GF7上的分裂域是GF72.

多項式准有限域 GF7上的分裂域是GF7,因為在其上已經分解完畢。

性質

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給定多項式,在 上的分裂域,假設在,分解為

那麼

對於域的一個代數閉域擴域上的一個多項式,存在上的唯一的一個分裂域,使得

對於的一個可分擴張伽羅瓦閉包是一個分裂域,也是的包含的一個「最小」的伽羅瓦擴張。這樣的一個伽羅瓦閉包包含了中任意元素,在上的極小多項式上的分裂域。

參見

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參考來源

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外部連結

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