分裂域

在抽象代數中，一個係數域為$\mathbb {K}$的多項式$P(x)\,$的分裂域（根域）是$\mathbb {K}$的「最小」的一個擴域$\mathbb {L}$，使得在其中$P\,$可以被分解為一次因式$x-r_{i}\,$的乘積，其中的$r_{i}\,$是$\mathbb {L}$中元素。一個$\mathbb {K}$上的多項式並不一定只有一個分裂域，但它所有的分裂域都是同構的：在同構意義上，$\mathbb {K}$上的多項式的分裂域是唯一的。

術語與定義

稱一個係數域為$\mathbb {K}$的多項式 $P(x)\,$在$\mathbb {K}$的某個擴域$\mathbb {L}$中分裂，當且僅當這個多項式可以用這個域中的元素來分解（分裂）成最簡單的一次因式的乘積：

$P=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{i}=a_{k}\prod _{i=1}^{k}(x-r_{i})$

其中的$a_{i}\in \mathbb {K}$，$r_{i}\in \mathbb {L}$。換句話來說，$P\,$的根都在$\mathbb {L}$中。

使得$P\,$在其中分裂的擴域$\mathbb {L}$有很多，譬如對於某個使得$P\,$分裂的的$\mathbb {L}$，它任意的擴域$\mathbb {L} '$也都滿足。然而其中「最小」的域在同構意義上是唯一的。所謂的「最小」域，是指這樣的一個擴域$\mathbb {E}$：

1. 在$\mathbb {E}$里，$P\,$，可以分解為一次因式的乘積；
2. 在$\mathbb {E}$的任何真子域（不等於自身）里，$P\,$都無法如此分解。這樣的擴域稱為$P\,$在$\mathbb {K}$上的分裂域。

例子

如果$\mathbb {K}$是有理數域$\mathbb {Q}$，多項式為

$P(x)=x^{3}-2\,$

那麼其分裂域$\mathbb {L}$可以是在$\mathbb {Q}$中添加三次單位根$\omega \,$和2的立方根而得到的擴域：$\mathbb {Q} (\omega ,{\sqrt[{3}]{2}})$。因為這時$P\,$可以寫作：

$P=(x-{\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega {\sqrt[{3}]{2}})(x-\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{2}})$

同一個多項式在不同的域上的分裂域不一定相同，比如：

• 多項式$x^{2}+1\,$在實數域 R上的分裂域是複數域 C。
• 多項式$x^{2}+1\,$在准有限域 GF₇上的分裂域是GF_7².

多項式$x^{2}-1\,$在准有限域 GF₇上的分裂域是GF₇，因為在其上$x^{2}-1=(x+1)(x-1)\,$已經分解完畢。

性質

給定多項式$P(x)\,$，在 $\mathbb {K}$上的分裂域$\mathbb {E}$，假設在$\mathbb {E}$里$P\,$，分解為

$P=a\prod _{i=1}^{k}(x-r_{i})$

那麼$\mathbb {E} =\mathbb {K} (r_{1},r_{2},\cdots ,r_{k})$。

對於域$\mathbb {K}$的一個代數閉域擴域$\mathbb {A}$和$\mathbb {K}$上的一個多項式$P\,$，存在$P\,$在$\mathbb {K}$上的唯一的一個分裂域$\mathbb {L}$，使得$\mathbb {K} \subset \mathbb {L} \subset \mathbb {A}$。

對於$\mathbb {K}$的一個可分擴張$\mathbb {K} '$，$\mathbb {K} '$的伽羅瓦閉包是一個分裂域，也是$\mathbb {K}$的包含$\mathbb {K} '$的一個「最小」的伽羅瓦擴張。這樣的一個伽羅瓦閉包包含了$\mathbb {K} '$中任意元素$a\,$，在$\mathbb {K}$上的極小多項式在$\mathbb {K}$上的分裂域。

參見

• 代數擴張
• 正規擴張
• 極小多項式
• 可分擴張

參考來源

• Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1. [1]
• David A. Cox. Galois Theory (1st ed.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-43419-1 [2]

外部連結

• 李華介，簡介Galois理論 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）