有限體
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在數學中,有限體(英語:finite field)或伽羅瓦體(英語:Galois field,為紀念埃瓦里斯特·伽羅瓦命名)是包含有限個元素的體。與其他體一樣,有限體是進行加減乘除運算都有定義並且滿足特定規則的集合。有限體最常見的例子是當 p 為質數時,整數對 p 取模。
有限體的元素個數稱為它的階。
有限體在許多數學和計算機科學領體的基礎,包括數論、代數幾何、伽羅瓦理論、有限幾何學、密碼學和編碼理論。
定理
[編輯]- 有限體的階(有限體中元素的個數)是一個質數的冪。
- 對於每個質數p和每個正整數n在同構的意義下存在惟一的階的有限體,並且所有元素都是方程 的根,該體的特徵為p。
- 有限體的乘法群是循環群。即若F是有限體,則存在使得。
- 有限體是完美體,即它的任何代數擴張一定是可分擴張。
- 有限體的有限擴張一定是伽羅瓦擴張,並且對應的伽羅瓦群是循環群。
存在性與唯一性
[編輯]設 q = pn 為質數冪, F 為多項式
於質數體 GF(p) 上的分裂體。換言之, F 是最低階的有限體,使得 P 在 F 內有 q 個互異的根(注意 P 的形式導數為 ,因此 P 無重根)。
利用二項式定理,可證恆等式
在特徵為 p 的體上成立(中一新生之夢)。此恆等式說明 P 任兩根之和或積仍為 P 的根。同時, P 的根的乘法反元素仍是根,因此 P 的根構成一個 q 階的體。由 F 的最小性,可知此體即為 F。
由於分裂體在同構意義下唯一, q 階體也在同構意義下唯一(已證其為 的分裂體)。而且,若體 F 有一個階為 的子體,則其元素恰為 的 q 個根,所以 F 不能包含另一個階為 q 的子體。
E·H·摩爾於 1893 年證明了以下的分類定理,可作為本節的總結:[1]
- 有限體的階為質數冪。對任意一個質數冪 q, 都存在 q 階的體,並且任意兩個 q 階的體都同構。該些體中,任意的元素 x 都滿足
- 且多項式 Xq − X 可分解成
- 有限體的階為質數冪。對任意一個質數冪 q, 都存在 q 階的體,並且任意兩個 q 階的體都同構。該些體中,任意的元素 x 都滿足
由此可知,GF(pn) 有同構於 GF(pm) 的子體當且僅當 m 整除 n;該情況下,僅有唯一的子體與 GF(pm) 同構。多項式 Xpm − X 整除 Xpn − X 也是當且僅當 m 整除 n.
弗羅貝尼烏斯自同構和伽羅瓦理論
[編輯]設 p 為質數, q = pn 為質數冪。
在 GF(q) 中,恆等式 (x + y)p = xp + yp 說明映射
是 GF(q) 上 GF(p)-線性的體自同構,其保持子體 GF(p) 的元素。該映射稱為弗比尼斯自同構,得名於費迪南德·格奧爾格·弗比尼斯。
記 φk 為 φ 的 k 次疊代,則
此前已證明 φn 為恆同映射。若 0 < k < n, 則自同構 φk 並非恆同映射,否則多項式
就有多於 pk 個根,矛盾。
此外 GF(q) 並無其他 GF(p)-自同構。換言之,GF(pn) 恰有 n 個 GF(p)-自同構,其為
以伽羅瓦理論觀之, GF(pn) 是 GF(p) 的伽羅瓦擴展,且其伽羅瓦群為循環群。
弗羅貝尼烏斯映射為滿射,因此任意一個有限體都是完美體。
一些小型的有限體
[編輯]F2:
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F3:
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F4: 考慮 方程的根不在F2中。記其中一根為A, 則且另一根為
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參考文獻
[編輯]- ^ Moore, E. H., A doubly-infinite system of simple groups, E. H. Moore; et al (編), Mathematical Papers Read at the International Mathematics Congress Held in Connection with the World's Columbian Exposition, Macmillan & Co.: 208–242, 1896
- 《近世代數》
參見
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