有限域
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在数学中,有限域(英语:finite field)或伽罗瓦域(英语:Galois field,为纪念埃瓦里斯特·伽罗瓦命名)是包含有限个元素的域。与其他域一样,有限域是进行加减乘除运算都有定义并且满足特定规则的集合。有限域最常见的例子是当 p 为素数时,整数对 p 取模。
有限域的元素个数称为它的阶。
有限域在许多数学和计算机科学领域的基础,包括数论、代数几何、伽罗瓦理论、有限几何学、密码学和编码理论。
定理
[编辑]- 有限域的阶(有限域中元素的个数)是一个素数的幂。
- 对于每个素数p和每个正整数n在同构的意义下存在惟一的阶的有限域,并且所有元素都是方程 的根,该域的特征为p。
- 有限域的乘法群是循环群。即若F是有限域,则存在使得。
- 有限域是完美域,即它的任何代数扩张一定是可分扩张。
- 有限域的有限扩张一定是伽罗瓦扩张,并且对应的伽罗瓦群是循环群。
存在性与唯一性
[编辑]设 q = pn 为素数幂, F 为多项式
于素数域 GF(p) 上的分裂域。换言之, F 是最低阶的有限域,使得 P 在 F 内有 q 个互异的根(注意 P 的形式导数为 ,因此 P 无重根)。
利用二项式定理,可证恒等式
在特征为 p 的域上成立(中一新生之梦)。此恒等式说明 P 任两根之和或积仍为 P 的根。同时, P 的根的乘法逆元仍是根,因此 P 的根构成一个 q 阶的域。由 F 的最小性,可知此域即为 F。
由于分裂域在同构意义下唯一, q 阶域也在同构意义下唯一(已证其为 的分裂域)。而且,若域 F 有一个阶为 的子域,则其元素恰为 的 q 个根,所以 F 不能包含另一个阶为 q 的子域。
E·H·摩尔于 1893 年证明了以下的分类定理,可作为本节的总结:[1]
- 有限域的阶为素数幂。对任意一个素数幂 q, 都存在 q 阶的域,并且任意两个 q 阶的域都同构。该些域中,任意的元素 x 都满足
- 且多项式 Xq − X 可分解成
- 有限域的阶为素数幂。对任意一个素数幂 q, 都存在 q 阶的域,并且任意两个 q 阶的域都同构。该些域中,任意的元素 x 都满足
由此可知,GF(pn) 有同构于 GF(pm) 的子域当且仅当 m 整除 n;该情况下,仅有唯一的子域与 GF(pm) 同构。多项式 Xpm − X 整除 Xpn − X 也是当且仅当 m 整除 n.
弗罗贝尼乌斯自同构和伽罗瓦理论
[编辑]设 p 为素数, q = pn 为素数幂。
在 GF(q) 中,恒等式 (x + y)p = xp + yp 说明映射
是 GF(q) 上 GF(p)-线性的域自同构,其保持子域 GF(p) 的元素。该映射称为弗罗贝尼乌斯自同构,得名于费迪南德·格奥尔格·弗罗贝尼乌斯。
记 φk 为 φ 的 k 次迭代,则
此前已证明 φn 为恒同映射。若 0 < k < n, 则自同构 φk 并非恒同映射,否则多项式
就有多于 pk 个根,矛盾。
此外 GF(q) 并无其他 GF(p)-自同构。换言之,GF(pn) 恰有 n 个 GF(p)-自同构,其为
以伽罗瓦理论观之, GF(pn) 是 GF(p) 的伽罗瓦扩展,且其伽罗瓦群为循环群。
弗罗贝尼乌斯映射为满射,因此任意一个有限域都是完美域。
一些小型的有限域
[编辑]F2:
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F3:
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F4: 考虑 方程的根不在F2中。记其中一根为A, 则且另一根为
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参考文献
[编辑]- ^ Moore, E. H., A doubly-infinite system of simple groups, E. H. Moore; et al (编), Mathematical Papers Read at the International Mathematics Congress Held in Connection with the World's Columbian Exposition, Macmillan & Co.: 208–242, 1896
- 《近世代数》
参见
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