# 逻辑与

## 真值表定义

A与B的真值表（也写作A${\displaystyle \land }$B（逻辑学），A && B（计算机科学），或A${\displaystyle \cdot }$B（电子学））。

${\displaystyle ~A\land B}$真值表:

 输入 输出 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\land B}$ 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 假

## 推理规则

A,
B.

${\displaystyle \mathbf {A} ,}$
${\displaystyle \mathbf {B} }$
${\displaystyle \vdash A\land B}$

Bob likes apples.
Bob likes oranges.
Therefore, Bob likes apples and oranges.

A and B.

A and B.

${\displaystyle A\land B}$
${\displaystyle \vdash A}$

${\displaystyle A\land B}$
${\displaystyle \vdash B}$

## 合成与分解规则

A,
B.

${\displaystyle A,}$
${\displaystyle B}$
${\displaystyle \vdash A\land B}$

1小于2
6大于5

AB

...或者，

AB.

${\displaystyle A\land B}$
${\displaystyle \vdash A}$

...或者

${\displaystyle A\land B}$
${\displaystyle \vdash B}$

## 性质

• 结合律: ${\displaystyle A\land (B\land C)\equiv (A\land B)\land C}$
• 交换律: ${\displaystyle A\land B\equiv B\land A}$
• 分配律: ${\displaystyle (A\land (B\lor C))\equiv ((A\land B)\lor (A\land C))}$
${\displaystyle (A\lor (B\land C))\equiv ((A\lor B)\land (A\lor C))}$
• 幂等律: ${\displaystyle A\land A\equiv A}$
• 单调性: ${\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((C\land A)\rightarrow (C\land B))}$
${\displaystyle (A\rightarrow B)\rightarrow ((A\land C)\rightarrow (B\land C))}$
• 保真性: 所有变量的真值皆为“真”的命题在逻辑与运算后的结果为真。
• 保假性: 所有变量的真值皆为“假”的命题在逻辑与运算后的结果为假。

## 计算机科学中的运用

### 位运算

• 0 and 0 = 0
• 0 and 1 = 0
• 1 and 0 = 0
• 1 and 1 = 1
• 1100 and 1010 = 1000