混沌理论

數值r = 28，σ = 10，b = 8/3的勞侖次吸引子圖形。

一个双杆摆动画呈现混沌行为。 从开始略微不同的初始条件摆杆将导致一个完全不同的轨迹。双杆摆是具有混沌方案最简单的动力系统之一。

杜芬方程吸引子图列

蔡氏电路 吸引子

Rossler 吸引子

陳氏吸引子

混沌理论（英語：Chaos theory）是关于非线性系统在一定参数条件下展现分岔、周期运动与非周期运动相互纠缠，以至于通向某种非周期有序运动的理论。在耗散系统和保守系统中，混沌运动有不同表现，前者有吸引子，后者无（也称含混沌吸引子）。

从20世纪80年代中期到20世纪末，混沌理论迅速吸引了数学、物理、工程、生态学、经济学、气象学、情报学等诸多领域学者有关注，引发了全球混沌热。混沌，也写作浑沌（比如《庄子》）。自然科学中讲的混沌运动指确定性系统中展示的一种類似随机的行为或性态。确定性是指方程不含随机项的系统，也称动力系统。典型的模型有單峰映象迭代系统，洛伦兹微分方程系统，若斯叻吸引子，杜芬方程，蔡氏电路，陳氏吸引子等。为浑沌理论做出重要贡献的学者有庞加莱、洛伦兹、上田睆亮、费根堡姆、约克、李天岩、斯美尔、芒德勃罗等。混沌理论向前可追溯到19世纪庞加莱等人对天体力学的研究，他提出了同宿轨道、异宿轨道的概念，他也被称为浑沌学之父。

混沌行为可以在许多自然系统中被观测到，例如天气和气候。对于这个行为的研究，可以通过分析混沌数学模型，或者通过诸如递归图和庞加莱映射等分析技术。

定义

混沌理论是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中无法用单一的数据关系，而必须用整体，连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。

“ 一切事物的原始状态，都是一堆看似毫不关联的碎片，但是这种混沌状态结束后，这些无机的碎片会有机地汇集成一个整体。 ”

混沌一词原指发现宇宙混乱状态的描述，古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。在井然有序的宇宙中，科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家熟知的万有引力、杠杆原理、相对论等。这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。

近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可以化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。如气象学家愛德華·諾頓·勞侖次发现简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的“蝴蝶效应”。60年代，美国数学家史蒂芬·斯梅爾发现某些物体的行径经过某种规则性变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可循，呈现失序的混沌状态。

背景

1963年美国气象学家愛德華·勞侖次提出混沌理论（Chaos），非线性系统具有的多样性和多尺度性。混沌理论解释了決定系统可能产生隨機结果。理论的最大的贡献是用简单的模型获得明确的非周期结果。在气象、航空及航天等领域的研究裡有重大的作用。

應用

混沌理論在許多科學學科中得到廣泛應用，包括：經濟學、化學、生態學、數學、生物學、信息技術、工程學、金融學、哲學、物理學、政治學、人口學、心理學和機器人學。

管理運籌學領域的許多混沌系統，如排隊系統、庫存系統、計劃調度系統等的主要特點是在不同的管理決策規則下，隊列、庫存和計劃調度的混亂。 Murphy以混沌理論為模型，研究公共關係管理中的問題和危機。 Joseph在總結混沌管理的研究現狀後指出，混沌管理依賴於變化規則，變化規則是基於有序或無序變化、適應性、新的有序出現過程的一套規則。

多種系統的渾沌狀態在實驗室中得到觀察，包括電路、激光、流體的動態，以及機械和電磁裝置。在自然中進行的有對天氣、衛星運動、天體磁場、生態學中的種群增長、神經元中的動作電位和分子振動的觀察。

渾沌理論最成功的應用之一在于生態學中的洛特卡－沃爾泰拉方程，在其中顯示了受密度制約之下的種群增長如何引致混沌狀態。

混沌控制

混沌控制由狄透（William Ditto）、賈芬卡（Alan Garfinkel）、約克（Jim Yorke），將此想法化為實用技術，用微小的變化開始，造成希望所想的巨大改變。

混沌動力學

x → 4 x (1 – x)与y → (x + y) mod 1定义的映射，展示了对初始x值的敏感性。其中，两个x、y序列随时间推移，从微小的初值差异发散出去。

通常来说，“混沌”意味着“无序状态”。混沌也不存在公认的数学定义，Robert L. Devaney总结出比较常用的定义，指出混沌系統有三種性質：

1. 受初始狀態影響的敏感性，初始条件非常微小的变动也可以导致最终状态的巨大差别。

1. 具有拓撲混合性；不严格地来说，就是系统会将初始空间的拓扑性质彻底打乱，使得任何初始状态变换到其他任何位置。
2. 周期軌道稠密，即在任何初始值附近都可以找到具有周期轨道的值。

在离散时间情形下，对初始条件的敏感性对度量空间上所有的连续映射都正确。敏感性是最具实际意义的特性，不过一般无需在定义中加以说明。

若将注意力放在区间上，那么第二条特性可以推导出另两条特性。混沌的另一个定义一般较弱，只使用前两条属性。

对初始条件的敏感性

主条目：蝴蝶效应

用于生成y变量曲线图的洛伦兹方程。x与z的初始条件保持不变，但y的初始条件在1.001、1.0001、1.00001之间变化。$\rho$、$\sigma$、$\beta$的值分别为45.92、16、4 。从图中可以看出，即使是最细微的差别，也会在大约12秒后发生显著变化，这就是对初始条件敏感的一个例子。

对初始条件的敏感性意味着，混沌系统中的每对极相近的点，会有大相径庭的轨迹；当前轨迹的任意微小变化都会导致未来行为的显著不同。

这种性质通常称作“蝴蝶效应”，源于爱德华·洛伦兹在美国科学促进会上发表的《可预测性：巴西的蝴蝶扇动翅膀会引发德克萨斯州的龙卷风吗？》（1972）。蝴蝶扇动翅膀代表系统初始条件的微小变化，引发了一连串现象，其出现完全无法预测。倘若蝴蝶没有扇动翅膀，整个系统的轨迹都会大不相同。

正如洛伦兹在《混沌的本质》（1993）中所写：“敏感依赖性可以作为混沌的一个可接受定义。”为说明时变路径对初始位置的敏感性，我们建立了一个理想化的滑雪模型。可预测性水平线可以在SDIC开始之前确定（即在附近初始轨迹出现显著分离之前）。

若从有限的系统信息开始（实际情况一般如此），则在一定时间后，系统就不再可预测了。这常见于天气预报，一般只能提前一周左右。这不是说不能对遥远未来的事件做出任何断言，只是说系统存在限制。例如，地表温度不会自然达到100 °C（212 °F）或低于−130 °C（−202 °F）（当前地质年代），但并没有方法推知一年中最热的一天会是哪一天。

李亚普诺夫指数衡量了对初始条件的敏感度，其形式是与扰动的指数发散率。给定相空间中两个无限接近的初值，初始分离度$\delta \mathbf {Z} _{0}$，两条轨迹最终发散的速度由以下公式给出：

$|\delta \mathbf {Z} (t)|\approx e^{\lambda t}|\delta \mathbf {Z} _{0}|,$

其中$t$是时间，$\lambda$是李亚普诺夫指数。分离率取决于初始分离矢量的方向，因此可能存在完整的李亚普诺夫指数谱。李亚普诺夫指数的个数等于相空间维数，通常仅指最大的一个：最大李亚普诺夫指数（MLE）最常用，反映系统整体的可预测性。系统MLE若为正，则视作处于混沌状态。

除上述特性外，还有其他相关性质，例如测度论混合性（如遍历理论）及K系统的特性。

非周期性

混沌系统可能具有完全重复的演化变量值序列，从序列任一点出发都会产生周期性行为。但这种周期序列是排斥性的：若演化变量在序列之外，无论多么接近，都不会进入序列，事实上还会偏离。因此，在几乎所有初始条件下，变量都会以非周期性方式混沌演化。

拓扑混合

一组状态$[x,y]$通过逻辑斯蒂映射的6次迭代。第一次（蓝）为初始条件，基本上形成了一个圆。动画显示了圆形为初态的1~6次迭代，可以发现会出现混合现象。第6次迭代中，点几乎完全分散在相空间中。若进一步迭代，混合将是均匀、不可逆的逻辑斯蒂映射方程为$x_{k+1}=4x_{k}(1-x_{k})$。将其状态空间推广到2维，要创建第二个状态$y$：$y_{k+1}=x_{k}+y_{k}$，即$x_{k}+y_{k}<1$，否则$y_{k+1}=x_{k}+y_{k}-1$。

x → 4 x (1 – x)与y → (x + y) mod 1定义的映射，也展现出拓扑混合。蓝色在动力作用下首先变为紫色，然后到粉色与红色，最终变为一团散布在空间中的垂直线。

拓扑混合（或较弱的拓扑传递）是指系统相空间的任意给定区域或开集，随时间推移都将与任意给定区域重叠。这种“混合”的概念与标准直觉相对，染料或液体的混合就是一种混沌系统。

混沌的流行说法往往忽略了拓扑混合，认为混沌只等同于对初态的敏感性；但这并不会导致混沌。例如，考虑只会将初值反复加倍的动力系统。它对各处的初值都敏感，因为任意一对邻近的点都会变得相距甚远；但由于没有混合，所以没有混沌。其实它的行为极其简单：除了0之外，所有点都趋于无穷大。

拓扑传递

若对任意一对非空开集$U,V\subset X$，都$\exists k>0$使$f^{k}(U)\cap V\neq \emptyset$，则称映射$f:X\to X$具有拓扑传递性。这弱于拓扑混合。直观地说，给定点x与V，则在x附近存在点y，其在拓扑传递映射中的轨道穿过V。这说明，不可能将系统分解为两个开集。

不难看出，稠密轨道意味着拓扑传递性。伯克霍夫传递性定理指出，若X是第二可数完备空间，则拓扑传递性意味着X中存在具有稠密轨道的稠密点集。

稠密周期轨道

具有稠密周期轨道的混沌系统意味着空间中的点都任意接近周期轨道。由x → 4 x (1 – x)定义的1维逻辑斯蒂映射是具有稠密周期轨道的最简单系统之一。例如，${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$ → ${\tfrac {5+{\sqrt {5}}}{8}}$ → ${\tfrac {5-{\sqrt {5}}}{8}}$（或约0.3454915 → 0.9045085 → 0.3454915）是周期为2的（不稳定）轨道，而周期为4、8、16等（实际上是沙尔科夫斯基定理指定的所有周期）也存在类似轨道。

沙尔科夫斯基定理是Li & Yorke (1975)的基础，其证明了任何连续1维系统若白你先出周期为3的规则周期，也会表现出其他长度的规则周期以及完全混乱的轨道。

奇异吸引子

洛伦兹吸引子显示出混沌行为。这两幅图显示了吸引子所占据的相空间区域内初始条件的敏感性。

x → 4 x (1 – x)定义的1维逻辑斯蒂映射之类的动力系统在任何地方都是混沌的，但很多时候混沌仅见于相空间的子集。混沌发生在吸引子上时，大量初始条件都将使轨道向混沌区域收敛。

直观显示混沌吸引子的简单方法，是从吸引盆地的某点开始，绘制之后的轨道。由于拓扑传递，很可能产生整个最终吸引子的图像。右图由简单的洛伦兹天气系统3维模型产生，都显示了洛伦兹吸引子的大致形状，可能是最著名的混沌系统图示之一，因为它不仅早，也是最复杂的混沌系统图之一，产生了非常有趣的模式。只要稍加想象，就能看到像蝴蝶翅膀一样的图案。

不同于定点吸引子与极限环，混沌系统产生的奇异吸引子具有很强的细节性与复杂性。它出现在连续动力系统（如洛伦兹系统）和一些离散系统（如厄农映射）。其他离散动力系统有一种称为朱利亚集的排斥结构，形成于定点吸引盆地之间的边界，可视为奇异吸引子。奇异吸引子具有分形结构，可以计算分形维度。

共存吸引子

广义洛伦兹模型中的共存吸引子与非混沌吸引子。从0.625至5之间的无量纲时间和加热参数r = 680的不同初始条件开始，共有128条不同颜色的轨道。混沌轨道附近会反复回到原点的鞍点附近。非混沌轨道最终接近两个稳定点之一，如蓝色大点所示。混沌与非混沌轨道在相空间中占据不同的吸引区。

最近对洛伦兹模型的研究强调了多类解的重要性：相同的建模配置与不同的初始条件下，同一模型（如双摆系统）可能会出现混沌与非混沌共存的现象。经典与广义洛伦兹模型得到的吸引子共存结论反映“整个天气系统具有混沌和有序的双重性质，具有明显的可预测性”，这与传统的“混沌天气”观点截然不同。

混沌系统的最小复杂度

逻辑斯蒂映射x → r x (1 – x)的分岔图。垂直切片对应r值的吸引子。随着r增加，周期加倍，最终产生混沌。越暗的点被访问的频率越高。

逻辑斯蒂映射之类的离散混沌系统，无论维度如何，都会表现出奇异吸引子。具有抛物线最大值和费根鲍姆常数$\delta =4.669201...$,$\alpha =2.502907...$的1维映射的普遍性在作为离散激光动力模型提出的Tahn映射上清晰可见： $x\rightarrow Gx(1-\mathrm {tanh} (x))$, 其中$x$表示电场振幅，$G$为激光增益分岔参数，在区间$[0,\infty )$内的逐渐增大会使动力从规则变为混沌，分岔图与逻辑斯蒂映射的分岔图具有相同性质。

而连续动力系统，庞加莱-本迪克松定理表明只有在3维及更高维才会出现奇异吸引子。有限维线性系统永远不会出现混沌，非线性或无限维系统才可能出现混沌。

庞加莱-本迪克松定理指出，二维微分方程具有非常规则的行为。下面讨论的洛伦兹吸引子由以下3个微分方程的系统产生：

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=\sigma y-\sigma x,\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=\rho x-xz-y,\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}&=xy-\beta z.\end{aligned}}$

其中$x$、$y$、$z$构成系统状态，$t$是时间，$\sigma$、$\rho$、$\beta$是系统参数。右侧5个项是线性的，2个是二次项，共有7项。另一个著名的混沌吸引子由若斯叻方程产生，7个项中只有1个非线性项。Sprott发现了一个只有5项的3维系统，只有1个非线性项，在某些参数值下表现出混沌。Zhang & Heidel证明，对耗散与保守型的二次系统来说，右边只有3、4项的3维二次系统不会表现出混沌行为。原因很简单：此类系统的解是二维曲面的渐近，因此解表现良好。

庞加莱-本迪克松定理指出，欧氏平面上的连续动力系统不会是混沌的，非欧几何的2维连续动力系统则有可能。不过，只要是无限维线性系统，也可能出现混沌。数学分析的一个分支——泛函分析正在发展线性混沌理论。

上面优雅的三个常微分方程被称为3维洛伦兹模型。1963年以来，许多研究开发了更高维的洛伦兹模型，用于研究非线性程度的增加及其与加热、耗散的共同作用对去稳定的影响。

无限维映射

耦合离散映射的直接推广基于卷积积分，其介导了空间分布映射之间的相互作用： $\psi _{n+1}({\vec {r}},t)=\int K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)f[\psi _{n}({\vec {r}}^{,},t)]d{\vec {r}}^{,}$,

其中的核$K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},t)$是作为相关物理系统的格林函数导出的传播器， $f[\psi _{n}({\vec {r}},t)]$可能是类似$\psi \rightarrow G\psi [1-\tanh(\psi )]$的逻辑斯蒂映射或复映射。复映射的例子是朱利亚集$f[\psi ]=\psi ^{2}$或池田映射$\psi _{n+1}=A+B\psi _{n}e^{i(|\psi _{n}|^{2}+C)}$。考虑波长为$\lambda =2\pi /k$、距离为$L=ct$的波传播问题时，核$K$可能具有薛定谔方程的格林函数形式：、

$K({\vec {r}}-{\vec {r}}^{,},L)={\frac {ik\exp[ikL]}{2\pi L}}\exp[{\frac {ik|{\vec {r}}-{\vec {r}}^{,}|^{2}}{2L}}]$.

急动系统

急动度是位置向量相对于时间的三阶导，因此微分方程的形式为

$J\left({\overset {...}{x}},{\ddot {x}},{\dot {x}},x\right)=0$

有时也被称为急动方程。研究表明，急动方程等价于3个1阶普通非线性微分方程组，从某种意义上说是能产生混沌解的最小设置，激发了学界对急动系统的兴趣。涉及4阶及以上导数的系统相应地被称为超急动系统。

急动系统的行为由急动方程决定，对部分急动方程，简单的电子电路就能模拟解，称作急动电路，其可能出现混沌行为。

洛伦兹吸引子和若斯叻吸引子等著名混沌系统，传统上即描述为由3个1阶微分方程组成的系统，可以组合成单一的（相当复杂）急动方程。急动方程的另一个例子是：

${\frac {\mathrm {d} ^{3}x}{\mathrm {d} t^{3}}}+A{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}-|x|+1=0.$

其中A是可调参数。此方程在A=3/5时有一个混沌解，可用下面的急动电路实现；所需的非线性由2个二极管产生：

电路中，除$R_{A}=R/A=5R/3$外，所有电阻、电容的大小都相等。主频为$1/2\pi RC$；运算放大器 0的输出对应x变量，1的输出对应x的一阶导，2的输出对应二阶导。

类似电路只需要一个二极管或根本不需要二极管。

也可见蔡氏电路，是混沌真随机数发生器的基础之一。该电路易于构建，因此成为现实世界中无处不在的混沌系统示例。

自发秩序

在适当条件下，混沌会自发演化为一种步调一致的模式。在藏本模型中，有4个条件足以使混沌系统产生同步。例子如惠更斯摆的耦合震荡、萤火虫、神经元、千禧桥共振、产生约瑟夫森效应的大型阵列等等。

参见

• 混沌系统的实例
  • 蔡氏電路
  • 單峰映象
  • 若斯叻吸引子

• 其他相关主题
  • 条件数
  • 適定性問題
  • 分形
    • 朱利亞集
    • 曼德博集合
  • 涌现
  • 非線性
  • 聖菲研究所
  • 复杂

• 人物
  • 迈克尔·贝里
  • 蔡少棠
  • 愛德華·諾頓·勞侖次
  • 亞歷山大·李亞普諾夫
  • 本華·曼德博
  • 儒勒·昂利·庞加莱
  • 詹姆士·约克
• 随机性
• 分岔
• 决定论
• 非决定论
• 因果律
• 自由意志
• 复杂性
• 系统论
• 蝴蝶效应
• 量子力學

参考文献

来源

刊物文章

• 郝柏林：《分岔、混沌、奇怪吸引子、湍流及其它》，《物理学进展》，1983， 3（01）.
• 朱照宣：《非线性动力学中的浑沌》，《力学进展》，1984， （02）.

书籍

• 苗东升、刘华杰：《浑沌学纵横论》，北京：中国人民大学出版社，1992，1993.
• 刘华杰：《浑沌语义与哲学》，长沙：湖南教育出版社，1998.

外部連結

• Hazewinkel, Michiel (编), Chaos, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Nonlinear Dynamics Research Group with Animations in Flash
• The Chaos group at the University of Maryland （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Chaos Hypertextbook （页面存档备份，存于互联网档案馆）. An introductory primer on chaos and fractals
• ChaosBook.org （页面存档备份，存于互联网档案馆） An advanced graduate textbook on chaos (no fractals)
• Society for Chaos Theory in Psychology & Life Sciences （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Nonlinear Dynamics Research Group at CSDC, Florence Italy
• Interactive live chaotic pendulum experiment, allows users to interact and sample data from a real working damped driven chaotic pendulum
• Nonlinear dynamics: how science comprehends chaos （页面存档备份，存于互联网档案馆）, talk presented by Sunny Auyang, 1998.
• Nonlinear Dynamics （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Models of bifurcation and chaos by Elmer G. Wiens
• Gleick's Chaos (excerpt) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Systems Analysis, Modelling and Prediction Group at the University of Oxford
• A page about the Mackey-Glass equation
• High Anxieties — The Mathematics of Chaos （页面存档备份，存于互联网档案馆） (2008) BBC documentary directed by David Malone
• The chaos theory of evolution （页面存档备份，存于互联网档案馆） - article published in Newscientist featuring similarities of evolution and non-linear systems including fractal nature of life and chaos.
• Jos Leys, Étienne Ghys et Aurélien Alvarez, Chaos, A Mathematical Adventure （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Nine films about dynamical systems, the butterfly effect and chaos theory, intended for a wide audience.