牛顿万有引力定律

兩個物體互相吸引

万有引力定律是艾萨克·牛顿在1687年于《自然哲学的数学原理》上发表的。牛顿的普适万有引力定律表示如下：

任意两个质点有通过连心线方向上的力相互吸引。该引力的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比，与两物体的化学本质或物理状态以及中介物质无关。

以數學表示为：$F=G\frac{m_1m_2}{r^2}$

（更严谨的表达请见下文中的矢量式方程。）

其中：

• F: 两个物体之间的引力
• G: 万有引力常数
• m₁: 物体1的质量
• m₂: 物体2的质量
• r: 两个物体之间的距离

依照国际单位制，F的单位为牛顿(N)，m₁和m₂的单位为千克(kg)，r 的单位为米(m)，常数G近似地等于6.67 × 10⁻¹¹ N m² kg⁻²（牛顿米的平方每千克的平方）。

可以看出排斥力F一直都将不存在，这意味着净加速度的力是绝对的（这个符号规约是为了与库仑定律相容而订立的，在库仑定律中绝对的力表示两个电子之间的排斥力）。

重力加速度

令a₁为事先已知质点的重力加速度。由牛顿第二定律知$F= m_1\ a_1$， 即$a_1=\frac{F}{m_1}$。取代前面方程中的F

$a_1 = G \frac{m_2}{r^2}$

同理亦可得出a₂.

依照国际单位制，重力加速度（同其他一般加速度）的单位被规定为米每平方秒 (m/s² or m s⁻²)。非国际单位制的单位有伽利略、单位g（见后）以及 英尺每秒的平方。

请注意上述方程中的a₁，质量m₁的加速度，在实际上并不取决于m₁的取值。因此可推论出对于任何物体，无论它们的质量为多少，它们都将按照同样的比率向地面坠落（忽略空气阻力）。

如果物体运动过程中r只有极微小的改变——譬如地面附近的自由落体运动——重力加速度将几乎保持不变（参看条目地心引力）。而对于一个庞大物体，由于r的变化导致的不同位点所受重力的变化，将会引起巨大而可观的潮汐力作用。

具有空间广度的物体

如果被讨论的物体具有空间广度（远大于理论上的质点），它们之间的万有引力可以以物体的各个等效质点所受万有引力之和来计算。在极限上，当组成质点趋近于“无限小”时，将需要求出两物体间的力（矢量式见下文）在空间范围上的积分。

从这里可以得出：如果物体的质量分布呈现均匀球状时，其对外界物体施加的万有引力吸引作用将同所有的质量集中在该物体的几何中心^原理时的情况相同。（这不适用于非球状对称物体）。

向量式

地球重力示意图

地球附近空间内的重力示意图：在此数量级上地球表面的弯曲可被忽略不计，因此力线可以近似地相互平行并且指向地球的中心

牛顿万有引力定律亦可通过向量方程的形式进行表述而用以计算万有引力的方向和大小。在下列公式中，以粗体显示的量代表向量。

$\mathbf{F}_{12} = G {m_1 m_2 \over r_{21}^2} \, \mathbf{\hat{r}}_{21}$ 或 $\mathbf{F}_{12} = - G {m_1 m_2 \over r_{21}^2} \, \mathbf{\hat{r}}_{12}$

其中：

F₁₂: 物体2对物体1的引力

G: 万有引力常数,其值约等于6.67259×10^-11 千克^-1·米³·秒^-2.

m₁与m₂: 分别为物体1和物体2的质量

r₂₁ = | r₂ − r₁ |: 物体2和物体1之间的距离

$\mathbf{\hat{r}}_{21} \equiv \frac{\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1}{\vert\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1\vert}$: 物体1到物体2的单位向量

可以看出向量式方程的形式与之前给出的标量式方程相类似，区别仅在于在向量式中的F是一个向量，以及在向量式方程的右端被乘上了相应的单位向量。而且，我们可以看出：F₁₂ = − F₂₁.

同样，重力加速度的向量式方程与其标量式方程相类似：

$\mathbf{a}_1 = G {m_2 \over r^2_{21}} \, \mathbf{\hat{r}}_{21}$

重力场

球状星团 M13 证明重力场的存在。

重力场是用于描述在任意空间内某一点的物体每单位质量所受万有引力的矢量场。而在实际上等于该点物体所受的重力加速度。

以下是一个普适化的矢量式，可被应用于多于两个物体的情况（例如在地球与月球之间穿行的火箭）的计算。对于两个物体的情况（比如说物体1是火箭，物体2是地球）来说，我们可以用$\mathbf r$ 替代$\mathbf r_{21}$并用m替代m₁来将重力场$\mathbf g(\mathbf r)$表示为：

$\mathbf g(\mathbf r) = G {m_2 \over r^2} \, \mathbf{\hat{r}}$

因此我们可以得到：

$\mathbf{F}( \mathbf r) = m \mathbf g(\mathbf r)$

该公式不受产生重力场的物体的限制。重力场的单位为力除以质量的单位；在国际单位制上，被规定为N·kg⁻¹（牛顿每千克）。

牛顿理论存在的问题

尽管牛顿对重力的描述对于众多实践运用来说十分地精确，但它也具有几大理论问题且被证明是不完全正确的。

理论问题

• 没有任何征兆表明重力的传送媒介可以被识别出，牛顿自己也对这种无法说明的超距作用感到不满意（参看后文条目“牛顿定律的局限性”）。

• 牛顿的理论需要定义重力可以瞬时传播。因此给出了古典自然时空观的假设，这样亦能使约翰内斯·开普勒所观测到的角动量守恒成立。但是，这与爱因斯坦的狭义相对论理论有直接的冲突，因为狭义相对论定义了速度的极限——真空中的光速——在此速度下信号可以被传送。

观测结果的不符

• 牛顿的理论并不能完全地解释出水星在沿其轨道运动到近日点时出现的进动现象^进动。牛顿学说的预言（由其它行星的重力拖曳产生）与实际观察到的进动相比每世纪会出现43弧秒的误差。
• 牛顿的理论预言的重力作用下光线的偏折只有实际观测结果的一半。广义相对论则与观察结果更为接近。
• 所有物体的重力质量与惯性质量相同的这一观测现象是牛顿的系统所不能解释的。广义相对论则将它作为一个基本条件。参看条目等效原理。

牛顿定律的局限性

当牛顿非凡的工作使万有引力定律能够为数学公式所表示后，他仍然不满于公式中所隐含的“超距作用”观点。他从来没有在他的文字中“赋予产生这种能力的原因”。在其它情况下，他使用运动的现象来解释物体受到不同力的作用的原因，但是对于重力这种情况，他却无法用实验方法来确认运动产生了重力。此外，他甚至还拒绝对这个由地面产生的力的起因提出假设，而这一切都违背了科学证据的原则。

牛顿对重力的发现埋葬了“哲学家至今仍在愚蠢地试图探索自然”(philosophers have hitherto attempted the search of nature in vain)这句所谓的真理，就同他深信着的“有各种因素”使得“各种迄今未知的原因”是所有“自然现象”的基础。这些基本的现象至今仍在研究中，而且，虽然存在着许多种的假设，最终答案仍然没有找出。 虽然爱因斯坦的假设的确比牛顿的假设更能精确地解释确定案例中万有引力的作用效果，他也从来没有在他的理论中为这种能力赋予一个原因。在爱因斯坦的方程式中，“物质告诉空间怎么扭曲，空间告诉物质怎么移动”(matter tells space how to curve, and space tells matter how to move)，但是这个完全异于牛顿世界的新的思想，也不能使爱因斯坦所赋予“产生这种能力的原因”比万有引力定律使牛顿所赋予的原因更能使空间产生扭曲。牛顿自己说：

“

我还没有能力去从现象中发现产生这些重力特性的原因，而且我无法臆测……我所解释的定律和丰富的天体运动的计算已经足够于说明重力的确存在并能产生效果。一个物体可以不通过任何介质穿过真空间的距离对另一个物体产生作用，在此之上它们的活动和力可以传送自对方，这对于我来说简直就是一个天大的谬论。因此，我相信，任何有足够的哲学思维能力的人都不会沉溺于此。 I have not yet been able to discover the cause of these properties of gravity from phenomena and I feign no hypotheses... It is enough that gravity does really exist and acts according to the laws I have explained, and that it abundantly serves to account for all the motions of celestial bodies. That one body may act upon another at a distance through a vacuum without the mediation of anything else, by and through which their action and force may be conveyed from one another, is to me so great an absurdity that, I believe, no man who has in philosophic matters a competent faculty of thinking could ever fall into it.

”

如果科学最终能够发现重力产生的原因的话，牛顿的希望也将最终被实现。

需要注意的是，这里使用的单词“原因(cause)”并不是“起因(cause)和影响”或者“被告导致(cause)受害者死亡”中所表示的意义。何况，当牛顿使用单词“原因(cause)”时，他（明显地）意指为一种“解释”。或者说，像“牛顿学说的重力是行星运动的原因”这个短语的意思就是牛顿学说的重力解释了行星的运动。参看条目因果。

• 最近的一项研究可以解释牛顿引力理论的困惑和局限性。该项研究不仅严格证明了万有引力电磁起源问题，也同时给出了高精度的牛顿引力常数值。验证实验采用一种不同于卡文迪许扭秤法的量子共振方法得到了精确结果。该方法实现了在原子尺度上来测量牛顿万有引力常数G，其分析和实验模型均基于氢原子基态能级的“超精细结构”。研究结果表明，万有引力常数G在亚原子尺寸范围不是一个恒定值，G只在真空中为常数，在氢原子玻尔半径距离附近，G=6.7192878(13)×10-11 N•m2 /kg2，在真空中，G=6.6722779(13)×10-11 N•m2 /kg2。相比于目前其它方法和测量装置,该实验方法排除了所有可能的实验误差,其结果的精确度远超过目前已有的实验结果。 资料来源：eprint arXiv:1111.6941

注解

• 註解原理： - Proposition 75, Theorem 35: p.956 - I.Bernard Cohen and Anne Whitman, translators: Isaac Newton, The Principia: Mathematical Principles of Natural Philosophy. Preceded by A Guide to Newton's Principia, by I.Bernard Cohen. University of California Press 1999 ISBN 0-520-08816-6 ISBN 0-520-08817-4
• 註解进动： - Max Born (1924), Einstein's Theory of Relativity (The 1962 Dover edition, page 348 lists a table documenting the observed and calculated values for the precession of the perihelion of Mercury, Venus, and Earth.)

参看条目

• 力
• 质点
• 质量
• 绝对时空观——相对时空观
• 广义相对论
• 三维空间——四维空间——多维空间
• 物理学定律列表
• 万有引力