數學原理
| 數學原理 | |
|---|---|
| 作者 | 伯特蘭·羅素 |
| 類型 | 叢書 |
| 語言 | 英語 |
| 發行資訊 | |
| 出版機構 | 劍橋大學出版社 |
| 出版時間 | 1913年  |
 | 此條目翻譯品質不佳。 (2015年7月31日) |
《數學原理》（英語：Principia Mathematica，縮寫PM）是由伯特蘭·羅素與他的老師阿爾弗雷德·諾思·懷特黑德合著的一本數學書籍，書籍共分三卷，分別出版於1910年，1912年，1913年。
它通常縮寫為PM (Principia Mathematica)，為表述所有數學真理在一組數理邏輯內的公理和推理規則下，原則上都是可以證明的。因此這一雄心勃勃的項目對於數學史和哲學史都是非常重要的，[1]然而在1931年，哥德爾不完備性定理證明對於數學原理或其他任何類似的嘗試，這個崇高的目標皆永遠無法達到；也就是說，任何嘗試以一組公理和推理規則來建立的數學系統，不是不自洽，就是不完備 (即存在一些數學真理不能由此系統推理演繹出來)。
數學原理的一個主要的靈感和動機來自於邏輯學家戈特洛布·弗雷格的工作，但伯特蘭·羅素發現其允許建設有矛盾的集合（羅素悖論）。數學原理排除無限制創建任意的集合來試圖避免這個問題，它以不同「類型」的集合來取代一般的集合，一組特定類型的集合只能包含套較低的類型。然而在當代數學，會使用如Zermelo-Fraenkel的集合理論體系，來避免如羅素的笨拙方式。
現代圖書館將此書排在二十世紀英文非虛構書籍中的第23名。[2]
覆蓋範圍
[編輯]原書僅囊括集合論、基數、序數和實數，並沒有包括實分析等複雜定理。然而，前三卷所設基礎已令許多讀者相信，從理論上來說，書中所用的形式邏輯可以用來推導出絕大多數的已知數學定理，但其實際工作的繁瑣程度亦顯而易見。
作者原本籌劃撰寫涵蓋幾何的第四卷，但在完成第三卷後，作者靈感匱乏，未能成書。
理論基礎
[編輯]由於在理論上由庫爾特·哥德爾（下同）的批評指出，不同於形式主義理論，PM的「logicistic」理論有沒有「形式主義的語法明確說明」。另一種看法是，在理論上，（在模型論的意義上）解釋的真值的符號的行為來表述「⊢」（真理斷言），「〜」（邏輯非）和「V」（邏輯或）。
真值：PM嵌入「真」和「假」的概念，「原始命題」的概念。原料（純）形式主義理論所不能提供形成了「原始命題」誠，符號本身可能是絕對武斷和陌生的符號的含義。該理論將符號行為也只是如何基於理論的語法指定。再後來，通過「價值」的分配，模式將指定什麼公式說的解釋。因此，在正式的克萊尼符號下方設置，「解釋」什麼樣的符號通常是指，並暗示他們如何最終被採用，在括號內，例如，「¬（不）」。但是，這不是一個純粹的形式主義理論。
正式的理論的當代建構
[編輯]下面的形式主義理論是作為對比PM的logicistic理論。一個現代的形式系統將構造如下：
使用的符號：該組是開始集合，其它符號可以出現，而是僅由從這些開始碼的定義。起始組可能是Kleene從中導出的以下一組：邏輯符號「→」（意味著，IF-THEN「⊃」），「＆」（和）中，「V」（或），「¬」（不） 「∀」（所有），「∃」（存在）;謂詞符號「=」（等於）;函數符號「+」（算術加法），「∙」（算術乘法），「'」（繼任者）;個別符號「0」（零）;變量「一」，「B」，「C」等;和括號「（」和「）」。 符號串：該理論將通過串聯（並列）建立這些符號的「弦」.[3] 形成規則：理論指定的語法規則（語法規則），通常為以「0」開頭，並指定如何建立可接受的字符串或「合式公式」（Wff）遞歸定義[4]這包括對於所謂的「變量」（相對於其他符號類型）中的符號串的規則對「替代」。[5] 變換規則（S）：指定符號和符號序列的行為的公理。 推理，支隊規則，肯定前件：允許理論從「前提」，導致到了「分離」一個「結論」的規則，並隨後放棄「處所」（符號到行的左邊│或符號線之上，如果水平）。如果不是這種情況，那麼取代會導致在必須進行前向越來越長的字符串。事實上，假言推理的應用程式後，沒有什麼是離開，但結論，剩下的永遠消失。 當代理論往往指定為第一公理古典或假言推理或「脫離規則」： A，A⊃乙│乙 符號「│」通常寫為水平線，這裡「⊃」是指「意味著」。符號A和B是「替身」的字符串;這種形式的符號被稱為「公理模式」（即，有一種特殊形式的符號可以採取可數）。這可以讀取類似的方式IF-THEN但有區別：給定的符號串IF A和A蘊涵B，那麼B（並保留進一步使用僅B）。但符號都沒有「解釋」（例如，沒有「真值表」或「真值」或「真理功能」）和假言推理機制上進行，由單獨的語法。
構成
[編輯]PM理論既有相似之處顯著，以及類似的差異，當代形式理論。克林指出，「這種演繹的數學與邏輯提供了直觀希爾伯特的公理被設計成相信，或者至少被接受為關於世界的假設合理的。」[6]事實上，PM理論不像形式主義理論，即操縱符號根據語法規則，PM引入了「真值」的概念，即在現實世界意義的真理和謬誤，以及「斷言真相」幾乎立即作為理論結構的第五和第六元素（PM 1962：4-36）：
版本差異
[編輯]卷I有五個新增：
- 附錄A,編號為8.15新增謝費爾豎線
- 附錄B,編號為* 89,討論感應沒有還原性的公理
- 附錄C、8頁討論命題函數
- 8頁的列表定義最後,給急需的索引使用的大約500個符號。
- 1962年杯發表縮短平裝版包含部分的第二版的卷I:新介紹,正文* 56,和附錄a和C。
參見
[編輯]參考資料
[編輯]- ^ Irvine, Andrew D. Principia Mathematica (Stanford Encyclopedia of Philosophy). Metaphysics Research Lab, CSLI, Stanford University. 2003-05-01 [2009-08-05]. （原始內容存檔於2019-04-28）.
- ^ The Modern Library's Top 100 Nonfiction Books of the Century. The New York Times Company. 1999-04-30 [2009-08-05]. （原始內容存檔於2020-06-12）.
- ^ Kleene 1952:71, Enderton 2001:15
- ^ Enderton 2001:16
- ^ This is the word used by Kleene 1952:78
- ^ Quote from Kleene 1952:45. See discussion LOGICISM at pages 43–46.
外部連結
[編輯]- Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 1 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1910 [2015-07-31], JFM 41.0083.02, （原始內容存檔於2022-01-18）
- Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 2 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1912 [2015-07-31], JFM 43.0093.03, （原始內容存檔於2022-01-18）
- Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 3 1, Cambridge: Cambridge University Press, 1913 [2015-07-31], JFM 44.0068.01, （原始內容存檔於2022-01-18）
- Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 1 2, Cambridge: Cambridge University Press, 1925, ISBN 978-0521067911, JFM 51.0046.06
- Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 2 2, Cambridge: Cambridge University Press, 1927, ISBN 978-0521067911, JFM 53.0038.02
- Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica 3 2, Cambridge: Cambridge University Press, 1927, ISBN 978-0521067911, JFM 53.0038.02
- Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand, Principia mathematica to *56, Cambridge Mathematical Library, Cambridge: Cambridge University Press, 1997 [1962], ISBN 0-521-62606-4, MR 1700771, Zbl 0877.01042
- The first edition was reprinted in 2009 by Merchant Books, ISBN 978-1-60386-182-3, ISBN 978-1-60386-183-0, ISBN 978-1-60386-184-7.
- Stephen Kleene 1952 Introduction to Meta-Mathematics, 6th Reprint, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN 0-7204-2103-9.
- Stephen Cole Kleene; Michael Beeson. Introduction to Metamathematics Paperback. Ishi Press. March 2009. ISBN 978-0-923891-57-2.
- Ivor Grattan-Guinness (2000) The Search for Mathematical Roots 1870–1940, Princeton University Press, Princeton N.J., ISBN 0-691-05857-1 (alk. paper).
- Ludwig Wittgenstein 2009 Major Works: Selected Philosophical Writings, HarperrCollins, NY, NY, ISBN 978-0-06-155024-9. In particular:
- Tractatus Logico-Philosophicus (Vienna 1918, original publication in German).
- Jean van Heijenoort editor 1967 From Frege to Gödel: A Source book in Mathematical Logic, 1879–1931, 3rd printing, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.)
- Michel Weber and Will Desmond (eds.). Handbook of Whiteheadian Process Thought （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）, Frankfurt / Lancaster, Ontos Verlag, Process Thought X1 & X2, 2008.
- Principia Mathematica （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）—by A. D. Irvine.
- The Notation in Principia Mathematica （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）—by Bernard Linsky.
- Proposition ✸54.43 （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） in a more modern notation (Metamath)
