愛因斯坦-波多尔斯基-羅森悖論

阿爾伯特·愛因斯坦

在量子力學裏，愛因斯坦-波多斯基-羅森悖論（EPR paradox），簡稱「愛波羅悖論」、「EPR佯謬」、「EPR悖論」等，是阿爾伯特·愛因斯坦、玻理斯·波多斯基和納森·羅森在1935年發表的論文裏，針對量子力學提出的早期重要批評。他們設計出一個思想實驗，稱為「EPR思想實驗」，可以凸顯出局域實在論與量子力學完備性之間的矛盾，這論述就是所謂的「EPR悖論」。

EPR論文並沒有質疑量子力學的正確性，它質疑的是量子力學的不完備性，量子力學不能預測物體的確切性質，只能地預測物體的統計性質，不能單獨量子系統，只能描述一個系綜的量子系統。或許，在不久的未來，物理學者會想出更完備的量子理論。但是，這論文是建立於貌似合理的假設──局域論與實在論，合稱為局域實在論。簡略解釋，局域論不允許鬼魅般的超距作用，實在論主張，月亮依舊存在，即使無人賞月。在學術界裏，這些假設引起強烈的爭論，特別是在兩位諾貝爾物理學獎得主愛因斯坦與尼爾斯·玻爾之間。

EPR論文表明，假若局域實在論成立，則可以推導出量子力學的不完備性。在那時期，很多物理學者都支持局域實在論，但是，局域實在論這假設到底能否站得住腳還是一個嚴峻的問題。後來，於1964年，物理學者約翰·貝爾發表貝爾定理，證明這個假設與量子力學的預測不相符。專門檢驗貝爾定理所獲得的實驗結果，證實與量子力學的預測相符合，同時證實局域實在論不成立。

理論概述

量子力學無法確切預測量子粒子的位置與動量。原版EPR弔詭對於這論點給出強烈挑戰。類似挑戰也可延伸至其它物理性質對偶。

EPR論文

EPR論文首先指出「物理實在」與「物理概念」的區別：客觀的物理實在不會因任何物理理論而改變，而物理概念則是物理理論的運作依據，物理理論試圖給出能夠表述物理實在的物理概念。為了促使物理理論所依靠的物理概念被滿意接受，物理理論必須滿足以下兩個條件：

• 物理理論必須正確無誤。
• 物理理論必須給出完備的描述。

對於第一個條件，物理理論是否正確，決定於物理理論預測符合實驗檢驗結果的程度。在這方面，量子力學的預測與實驗檢驗結果之間，並沒有甚麼明顯的差別。量子力學似乎正確無誤。EPR論文主要聚焦於第二個條件，EPR論文對於「完備性」這術語給出非常嚴謹的定義：物理實在的每個要素都必須在物理理論裏有其對應的要素。換句話說，一個完備的物理理論必須能夠準確描述物理實在的每個要素。EPR論文又對於「物理實在的要素」這術語給出充分條件（實在性判據）：假若，在對於系統不造成任何攪擾的狀況下，可以準確地預測（即，以等於1的概率）一個物理量的數值，則對應於這物理量存在一個物理實在的要素。注意到這假設是基於實在論──在測量之前，這實在的要素就已經存在了。

EPR論文試圖描述，先前相互作用的兩個粒子，在被分離之後的物理性質。假設兩個粒子A、B在原點位置相互作用之後，以相反方向移動分離。根據不確定性原理，由於位置算符與動量算符不對易，無法同時確定粒子B的位置與動量；位置越確定則動量越不確定，反之亦然。假設準確測量出粒子A的位置 $x_A$ ，則由於粒子A與粒子B之間相隔很遠，測量粒子A不會攪擾到粒子B，粒子B的位置可以準確地預測為 $x_B=-x_A$ （概率為1），因此，按照實在性判據，對於測量粒子B的位置，必定存在物理實在的要素 $\rho_{x}$ 。在這裏，作者假設測量這動作遵守局域論。類似地，假設準確測量出粒子A的動量，則由於測量粒子A不會攪擾到粒子B，粒子B的動量可以準確地預測為 $p_B=-p_A$ （概率為1），因此，按照實在性判據，對於測量粒子B的動量，必定存在物理實在的要素 $\rho_{p}$ 。

EPR論文推論出 $\rho_{x}$ 、$\rho_{p}$ 都是物理實在的要素，都能夠分別預先決定粒子B的準確位置 $x_B$ 、準確動量 $p_B$ 。但是，這違背了量子力學的不確定性原理，因為位置算符與動量算符不對易，無法同時確定粒子B的位置與動量。因此，對於位置和動量，量子力學無法給出對應的理論要素。EPR論文斷言，量子力學對於物理實在的描述並不完備。EPR論文最後這樣說：

我們已指明波函數不能對於物理實在給出完備性描述，在這同時，我們暫且擱置關於這描述是否存在的問題，然而我們相信，這種完備性的理論可能存在。

局域論與實在論，合稱為「局域實在論」。EPR作者藉著EPR思想實驗來指出局域實在論與量子力學完備性之間的矛盾，這論述就是所謂的「EPR悖論」。

玻姆版本

玻姆版本的EPR思想實驗。

使用施特恩-格拉赫儀器，可以很容易的測量出粒子沿著磁場軸的自旋分量。

1951年，戴維·玻姆提出了玻姆版本的EPR悖論，又稱為「EPRB悖論」，B是玻姆英文原文的第一字。這個版本測量的是粒子沿著某特定軸的離散自旋分量，不需要測量位置與動量這兩個連續變量。使用施特恩-格拉赫儀器，可以很容易的測量出粒子沿著磁場軸的自旋分量。

假設一個零自旋中性π介子衰變成一個電子與一個正電子。這兩個衰變產物各自朝著相反方向移動。電子移動到區域A，在那裏的觀察者「愛麗絲」會觀測到電子沿著某特定軸的自旋分量；正電子移動到區域B，在那裏的觀察者「鮑勃」也會觀測到正電子的相關性質。這兩個糾纏在一起的粒子處於零自旋單態（singlet state） $\left|\psi\right\rang$ ，可以視為兩個量子態的疊加，分別稱為「量子態 I 」與「量子態 II 」。這兩個粒子的零自旋單態以狄拉克標記表示為

$\left|\psi\right\rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg (\left|+z\right\rang \otimes \left|-z\right\rang - \left|-z\right\rang \otimes \left|+z\right\rang \bigg)$ ；

其中，在圓括弧內，第一個項目 $\left|+z\right\rang \otimes \left|-z\right\rang$ 為量子態 I ，第二個項目 $\left|-z\right\rang \otimes \left|+z\right\rang$ 為量子態 II 。

在量子態 I 裏，量子態為 $\left|+z\right\rang$ 的電子，其自旋朝+z軸指去，z分量為"+"；量子態為 $\left|-z\right\rang$ 的正電子，其自旋朝-z軸指去，z分量為"-"。在量子態 II 裏，量子態為 $\left|-z\right\rang$ 的電子，其自旋的z分量為"-"；量子態為 $\left|+z\right\rang$ 的正電子，其自旋的z分量為"+"。假若不通過測量，則無法知道這兩個粒子中任何一個粒子自旋的z分量。

這單態具有旋轉不變性，對於任意取向參考軸，它保持同樣的性質。例如，選擇u軸為參考軸，則這單態可以表示為

$\left|\psi\right\rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg (\left|+u\right\rang \otimes \left|-u\right\rang - \left|-u\right\rang \otimes \left|+u\right\rang \bigg)$ 。

這單態的兩個粒子相互反關聯，測量延著任意u軸的自旋分量，假若電子自旋的u分量為"+"，則正電子自旋的u分量為"-"，假若電子自旋的u分量為"-"，則正電子自旋的u分量為"+"。量子力學不能預測到底是哪一組數值，但是量子力學可以預測，獲得任何一組數值的概率為50%。

假設愛麗絲測量電子自旋的z分量，她可能會得到兩種結果："+" 或"-"。假若她得到"+"，則根據量子力學的哥本哈根詮釋，單態塌縮為量子態 I 。隨後，假若鮑勃測量正電子自旋的z分量，他會得到"-"的概率為100%。類似地，假若愛麗絲測量的結果為"-"，則單態塌縮為量子態 II ，隨後鮑勃會測量得到"+"。因此，通過測量電子自旋的z分量，愛麗絲可以準確地預測正電子自旋的z分量，並且完全不會攪擾到正電子。按照實在性判據，對於測量正電子自旋的z分量，必定存在物理實在的要素 $\Omega_{z}$ 。

當然，選擇z軸並沒有任何特別意義，自旋單態也可以表示為以x軸為參考軸的兩個量子態的疊加態：

$\left|\psi\right\rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg (\left|+x\right\rang \otimes \left|-x\right\rang - \left|-x\right\rang \otimes \left|+x\right\rang \bigg)$ 。

測量電子自旋的x分量，假若愛麗絲獲得的結果為"+"，則隨後鮑勃會得到"-"；假若愛麗絲獲得的結果為"-"，則隨後鮑勃會得到"+"；因此，通過測量電子自旋的x分量，愛麗絲可以準確地預測正電子自旋的x分量，並且完全不會攪擾到正電子。按照實在性判據，對於測量正電子自旋的x分量，必定存在物理實在的要素 $\Omega_{x}$ 。

$\Omega_{z}$ 、$\Omega_{x}$ 都是物理實在的要素，都能夠分別預先決定正電子自旋的z分量 $S_z$ 、x分量 $S_x$ 。但是，這違背了量子力學的不確定性原理，因為 $S_z$ 、$S_x$ 不對易，無法同時確定正電子自旋的z分量 $S_z$ 、x分量 $S_x$ 。因此，對於 $S_z$ 、$S_x$ ，量子力學無法給出對應的理論要素。EPR論文斷言，量子力學對於物理實在的描述並不完備。

不論沿著哪一個軸測量，愛麗絲與鮑勃都會得到相反的結果。這只能解釋為兩個粒子以某種方式連結在一起。一個可能是，它們在生成時，就沿著每一個軸擁有明確的自旋分量（隱變量（hidden variable）論點）。另一個可能是，當其中一個粒子被沿著某個軸測量時，另外一個粒子會感受到這個軸被測量，並且將自己沿著這個軸的自旋分量呈現出相反的數值（量子糾纏論點）。

宣稱測量第一個粒子的動量會影響其位置的確定性是一回事，宣稱測量第一個粒子的動量會影響第二個粒子位置的確定性是完全不同的一回事。EPR悖論質疑，第二個粒子怎樣知道應該擁有確定的動量與不確定的位置？這意味著第一個粒子與第二個粒子能夠隔著廣泛空間以超光速傳遞信息，這與相對論的基本公設相矛盾。

EPR論文採用的可觀察量是動量與位置，玻姆採用的是自旋分量，另外可以使用的可觀察量有很多種。做實驗體現EPR案例，時常會使用光子偏振，因為製備與測量偏振的光子並不困難。

兩個假設的綜合

局域性原理

局域性原理（principle of locality）表明，物體只能直接地被毗連區域發生的事件所影響，遙遠區域發生的事件只能以某種不超過光速的傳遞方式間接地影響此物體。初看之下，這句話似乎很合理，因為它似乎是狹義相對論的後果。根據狹義相對論，信息傳播的速度絕不會比光速更快，否則會違背因果性（causality），也就是說，在某種參考系可以觀測到信息以逆時間方向傳播，後果會早於前因發生。任何理論，假若違背了因果性，則會造成邏輯悖論，這理論無法成立。

但是，經過多次論證，物理學者發現，量子力學的描述違背了局域性原理，例如，波函數塌縮或全同粒子對稱化都是非局域性行為，但這描述並沒有違背因果性。愛麗斯不可能藉著操縱她的測量軸來傳播信息給鮑勃。不論她的測量軸為何，她獲得 "+" 的概率為50%，獲得 "−" 的概率為50%，這是完全隨機的結果。在區域B 的鮑勃只能做一次測量，這是因為不可克隆原理不允許將移動到區域B的正電子加以複製為成千上萬個正電子，然後測量其中每一個正電子的自旋分量，再分析獲得的統計分佈結果。這樣，對於鮑勃所能夠做的一次測量，獲得 "+" 的概率為50%，獲得 "−" 的概率為50%，不論他的測量軸是否與愛麗斯相同。

既然量子力學的描述並沒有違背因果性，是否可以放鬆局域性原理的條件，將信息傳遞的速度限制為有限速度，可能低於光速，也可能高過光速？在EPRB思想實驗裏，假設愛麗絲測量電子自旋的z分量，則根據量子力學的哥本哈根詮釋，單態 $\left|\psi\right\rang$ 會以有限速度塌縮為量子態 I 或量子態 II 。假設在塌縮抵達區域B之前，測量正電子自旋的z分量，則獲得 "+" 的概率為50%，獲得 "−" 的概率為50%，而在塌縮抵達區域B之後，正電子自旋的z分量與電子相反，這違背了角動量守恆定律，所以，量子態不能以有限速度塌縮，而是在瞬時之間完成塌縮。

局域性原理對於物理直覺相當具有吸引力，是狹義相對論的基礎，EPR作者不願意輕易將它丟棄。愛因斯坦甚至將非局域性量子行為嘲諷為「鬼魅般的超距作用」，這是他不能相信量子力學的主要原因之一，他認為物理理論應該不存在任何鬼魅般的超距作用。從反方面來看，量子力學的非局域性行為意謂著，在某種狀況下，狹義相對論可能需要修正。

實在論

實在論表明，做實驗觀測到的現象是出自於某種物理實在，而這物理實在與觀測無關。假設做施特恩-格拉赫實驗測量一個自旋1/2粒子的z分量，獲得結果為"+"，請問在測量之前短暫片刻內，粒子的z分量為何？實在派會說，答案是"+"。假若這答案正確，則可推斷，量子力學並不完備，因為量子力學無法給出這答案，雖然量子力學給出的答案都非常正確。實在派進一部猜測，是否有甚麼尚未發現的隱變量可以給出量子力學所不能給出的結果，促使量子力學變得完備無缺？

愛因斯坦不贊同量子力學的統計性質，他認為，物理學者應該能夠給出一個實在模型來直接描述事件本身，而不是它們發生的概率。愛因斯坦與量子力學的分歧點不是決定論，而是實在論。不論是否被觀測，物體具有其特定性質。他曾經對亞伯拉罕·派斯提出一個耐人尋味的問題：「月亮是否依舊存在，即使無人賞月？」

另外一派包括尼爾斯·玻爾在內的物理學者認為，在測量這粒子自旋的z分量之前，其數值並不存在。這些物理學者屬於「正統派」，或「哥本哈根學派」。他們持有的「正統派」觀點是哥本哈根詮釋的一部分。按照這觀點，物理性質的客觀實在與觀測有關，不被觀測的物體不具有物理性質。玻爾聲明，「沒有量子世界，只有抽象量子力學描述。」帕斯庫爾·約當強調，「觀測不只攪擾了被測量的性質，它們造成了這性質……我們自己造成了測量的結果。」大多數量子學者都持有這觀點，雖然這觀點也給予測量動作異常奇怪的功能。

局域實在論

局域實在論綜合局域性原理與實在論在一起。它表明，所有物體都具有可測量、良好定義的性質，而這性質與外部影響無關。在EPR悖論裏，按照局域性原理，測量電子在區域A的自旋z分量，不會影響正電子在區域B的自旋z分量，若將之後測量正電子的自旋z分量與測量電子的自旋z分量相比，兩者所獲得的結果恰恰相反，知道電子的自旋z分量，就可以預測正電子的自旋z分量，因此，在測量電子的自旋z分量之前，正電子B就已擁有具體的自旋z分量，即實在論必須被遵守，但是，量子力學對於這結果並沒有給出任何相關論述，所以，量子力學並不完備。

玻爾不贊同EPR思想實驗的結論，他所反對的不是其推論，而是其假設──局域實在論。玻爾認為，實在性判據的「對於系統不造成任何攪擾的狀況」這句話的語義含混不清。玻爾承認，在愛麗絲測量電子時，鮑勃的正電子並沒有遭受到任何「機械性攪擾」，但是，愛麗絲測量電子這動作著實影響了某些條件，而這些條件恰巧地設定了對於鮑勃的正電子未來行為可以做哪些預測。假設愛麗絲在區域A測量電子的位置，因此可以預測在區域B正電子的位置，但她也因此無法預測正電子的動量；同樣地，愛麗絲在區域A測量電子的動量，因此可以預測在區域B正電子的動量，但愛麗絲也因此無法預測正電子的位置。怎麼可能會同時存在位置與動量的實在要素？所以，EPR悖論的假設──局域實在論──不成立。

換另一種方法，不可分性（Separability）的概念可以用來分析EPR悖論。假設一個量子系統是由幾個亞系統組成，由於量子糾纏，整體系統所具有的某種物理性質，亞系統不能私自具有，這時，不能夠對亞系統給定這種物理性質，只能對整體系統給定這種物理性質，它具有「不可分性」。這性質不一定與空間有關，處於同一區域的幾個物理系統，只要彼此之間沒有任何糾纏，則它們各自擁有應有的物理性質。物理學者艾雪·佩雷斯（Asher Peres）給出不可分性的數學定義式，可以計算出整體系統到底可分還是不可分。假設整體系統具有不可分性，並且這不可分性與空間無關，則可將它的兩個亞系統分別置放於兩個相隔遙遠的區域，凸顯出不可分性與局域性的不同──雖然它們之間分隔遙遠，仍舊不可將它們個別處理。在EPR悖論裏，由於兩個粒子分別處於兩個相隔遙遠的區域，整體系統被認為具有可分性，但因量子糾纏，整體系統實際具有不可分性，整體系統所具有明確的自旋z分量，它們都不具有。

局域實在論是經典力學、相對論、電磁學裏很重要的特色，但是，由於非局域量子糾纏理論，量子力學不能接受局域實在論。EPR悖論也不能接受非局域量子糾纏理論，因為這理論可能與相對論發生衝突。任何違背貝爾不等式的量子理論，例如量子力學，都必須違背局域實在論或反事实确切性（counterfactual definiteness），兩者之中至少一者。

悖論的解答

隱變量

能夠解答EPR悖論的方法很多。EPR作者提議，雖然在很多實驗檢驗案例裏，量子力學都能預測出非常正確的實驗結果，實際而言，它是個不完備理論，換句話說，EPR作者認為可能存在某種描述大自然的、尚未被發現的完備理論，而量子力學扮演的是一種統計近似的角色，統計近似這完備理論。與量子力學不同，這完備理論可以給出變量來對應於每一個實在要素，並且，必定有某種機制作用於這些變量，給出不相容可觀察量會觀測到的效應，即不確定性原理。這完備理論稱為隱變量理論（hidden variable theory）。

為了說明這點子，舉一個簡單的隱變量理論案例。假設，粒子源發射出的量子零自旋單態，實際是近似描述擁有明確z分量、x分量的「真實量子態」。在這些真實量子態裏，鮑勃測量的正電子與愛麗斯測量的電子，擁有相反的自旋分量，除此特點以外，自旋分量完全隨機。例如，在粒子源發射出的第一對粒子裏，電子的真實量子態是(+z, −x) 、正電子的真實量子態是(−z, +x)；在第二對粒子裏， 電子的真實量子態是(-z, −x) 、正電子的真實量子態是(+z, +x)，像這樣模式，發射出很多對粒子。注意到，假若鮑勃測量的參考軸與愛麗斯相同，則兩者必定會測量到相反的自旋分量；否則，他會的測量到"+" 或 "−"的概率分別為50%。

假設限制測量的參考軸只能為z軸與x軸，則在實驗方面不會區分出這隱變量理論與量子力學有甚麼不同。實際而言，有無限多個參考軸可以給予愛麗斯與鮑勃做測量，因此也必須有無限多個獨立的隱變量。但是，這論題並不嚴重，這是一個很簡單的隱變量理論，或許更精致的理論可以將論題補足。但是，另外還有更嚴重的挑戰面對隱變量這點子。

貝爾不等式

1964年，約翰·貝爾提出論文表明，對於EPR思想實驗，量子力學的預測顯著不同於局域性隱變量理論。概略而言，假若測量兩個粒子分別沿著不同軸的自旋，則量子力學結果的統計關聯性比局域性隱變量理論結果強很多。這些不同，以知名為貝爾不等式的不等式來表達，原則上是可以做實驗偵測出來的。如同EPR作者，貝爾在論文裏的導引採用了同樣的兩個假設：

• 實在性：微觀物體擁有實在性質，這實在性質可以決定量子測量結果。
• 局域性：在任意區域的實在性質不會被遙遠區域進行的測量所影響。

從這兩個假設，貝爾推導出重要的結果──貝爾不等式，貝爾並且提出貝爾定理："沒有任何局域隱變量理論能夠複製所有量子力學預測"。這意味著在這兩個假設之中至少有一個假設不正確。

EPR論文相當侷限地只論述物理實在要素，貝爾1964年論文仔細論述到更多種不同的隱變量。最關鍵的一點是做實驗能夠檢試重要的貝爾不等式，這促使了檢試局域實在論的可能性。貝爾論文只涉及了命定性隱變量理論。後來，這論文被推廣為隨機理論（stochastic theory）。物理學者更發覺，這論文所論述的並不只是隱變量，它還論述到一些並未真正執行測量的變量可能會擁有的測量結果。這種變量的存在稱為「實在論假設」，又稱為反事實確切性（counterfactual definiteness）假設。

在貝爾論文發表之後，物理學者想出很多種實驗來檢試貝爾不等式，這些實驗一般都依賴測量光子偏振的機制。所有至今完成的實驗結果，都違背貝爾不等式，符合量子力學預測。雖然這些結果並沒有證實量子力學是完備的，貝爾定理似乎終結了局域實在論，必須違背局域論，或者違背實在論，或者同時違背兩者。這麼簡單與精致的理論導致出極為重要的量子力學結果，物理學者亨利·斯泰魄（Henry Stapp）因此稱譽其為「意義最深遠的科學發現」。

影響與應用

EPR悖論揭露了測量過程的基本非經典性質，從而推進了物理學者對於量子力學的了解。在EPR論文發表之前，測量時常被視為是一種物理攪擾，直接作用於被測量系統。例如，測量電子的位置可以想像為照射一束光波於電子，這會攪擾電子，造成電子位置的不確定性。在談述量子力學的科普文章裏，時常會遇見這類解釋。EPR悖論指出這類解釋的錯誤之處，並且表明，測量一個粒子的性質，不一定要攪擾這粒子，可以改為依靠測量遙遠糾纏粒子的性質來預測這粒子的性質。

很多正在研發中的科技倚賴量子糾纏為基本運作機制。在量子密碼學裏，糾纏粒子被用來傳輸信息，使用這種方法，任何竊聽動作必定會留下痕跡。在量子計算學裏，糾纏量子態可以做並行計算，允許某些種運算的速度比經典計算機快很多。

數學表述

使用量子力學的自旋形式論，可以對EPRB悖論做數學表述。表現電子、正電子自旋量子態的態向量分別存在於二維複向量空間 $\mathbb{V}$ ，每一個量子態對應於一個二維向量。朝著 $x$ 、$y$ 、$z$ 方向的自旋算符，分別標記為 $S_x$ 、$S_y$ 、$S_z$ ，以包立矩陣表示為：

$S_x = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}, \quad S_y = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix} 0&-i\\i&0\end{bmatrix}, \quad S_z = \frac{\hbar}{2} \begin{bmatrix} 1&0\\0&-1\end{bmatrix}$；

其中，$\hbar$ 是約化普朗克常數。

自旋算符 $S_z$ 的本徵態表示為

$\left|+z\right\rang = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \quad \left|-z\right\rang = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$。

自旋算符 $S_x$ 的本徵態表示為

$\left|+x\right\rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}, \quad \left|-x\right\rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$。

電子-正電子對的向量空間是 $\mathbb{V} \otimes \mathbb{V}$ ，電子向量空間與正電子向量空間的張量積。自旋單態是

$\left|\psi\right\rang = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg (\left|+z\right\rang \otimes \left|-z\right\rang - \left|-z\right\rang \otimes \left|+z\right\rang \bigg)$ ；

其中，在圓括弧內，第一個項目 $\left|+z\right\rang \otimes \left|-z\right\rang$ 為量子態 I ，第二個項目 $\left|-z\right\rang \otimes \left|+z\right\rang$ 為量子態 II 。

這自旋單態也可寫為

$\left|\psi\right\rang = \frac{-1}{\sqrt{2}} \bigg (\left|+x\right\rang \otimes \left|-x\right\rang - \left|-x\right\rang \otimes \left|+x\right\rang \bigg)$ ；

其中，在圓括弧內，第一個項目、第二個項目分別為量子態 I 、量子態 II 。

若要說明局域實在論怎樣被違背，必須先顯示出在愛麗斯測量電子的 $S_z$ 之後，鮑勃的正電子的 $S_z$ 已被唯一地決定，因此對應於一個實在因素；同樣的道理，鮑勃的正電子的 $S_x$ 也對應於一個實在因素。這是由量子測量原理導致。當愛麗斯測量電子的 $S_z$ 時，整個量子態 $|\psi\rang$ 塌縮成 $S_z$ 的一個本徵態。假若測量結果為+z，則這意味著量子態 $|\psi\rang$ 在測量之後立刻經歷一個正交投影至以下量子態空間：

$\left| +z \right\rangle \otimes \left| \phi\right\rangle \quad \phi \in \mathbb{V}$ 。

對於自旋單態，新量子態為

$\left| +z \right\rangle \otimes \left| -z \right\rangle$ 。

類似地，假若愛麗斯的測量結果為−z，則量子態 $|\psi\rang$ 在測量之後立刻經歷一個正交投影至以下量子態空間：

$\left| -z \right\rangle \otimes \left| \phi\right\rangle \quad \phi \in \mathbb{V}$ 。

因此，新量子態為:$\left|-z\right\rangle \otimes \left|+z\right\rangle$ 。

這意味著鮑勃測量正電子的 $S_z$ 所得到的答案已被唯一地決定。對於第一個案例，答案是−z，對於第二個案立，答案是+z。

剩下來需要做的就是證明，在量子力學裏，$S_x$ 、$S_z$ 不能同時擁有明確值。這是因為兩個算符不對易：

$\left[S_x, S_z\right] = -i\hbar S_y \ne 0$ 。

它們必須遵守不確定性原理：

$\left\lang (\Delta S_x) ^2 \right\rang \left\lang (\Delta S_z) ^2 \right\rang \ge \frac{1}{4} \left|\left\lang \left[S_x, S_z\right] \right\rang\right|^2$ 。

歷史

在第五、六次索爾維會議，愛因斯坦分別提出兩個思想實驗，試圖凸顯不確定性原理為何不成立，從而質疑量子力學的正確性，然而，這兩次挑戰，都分別被玻爾成功駁回。愛因斯坦並不因此氣餒，雖然他開始接受量子力學的自洽性這事實，他仍舊認為量子力學不具有完備性。1935年，在普林斯頓高等研究院，他與博士後羅森、研究員波多斯基合作完成論文《物理實在的量子力學描述能否被認為是完備的？》並且發表於5月份的《物理評論》。波多斯基又發給紐約時報一份新聞稿，暗示已經找到量子力學的瑕疵。愛因斯坦為此非常氣憤，認為波多斯基過於誇大，從此再也不跟波多斯基講話。

很快地，這篇論文在量子力學界掀起一陣強風巨浪，沃爾夫岡·包立特別寫信要求大師維爾納·海森堡立即發表聲明，讓其他物理學者不會因這篇論文而被困惑。海森堡後來撰寫了一篇草稿，但他並沒有將之發表，因為玻爾已經開始帶頭反駁了。

玻爾是哥本哈根詮釋的主要創建者之一，他立刻放下手裡所有研究工作，專心研究這論題，發現這論題相當奧妙，並不簡單，他因此不再主張「測量的動作會造成不可避免的物理攪擾。」到7月份，玻爾才撰寫完畢反駁論文，以同論文名發表於10月份的《物理評論》。在這篇論文裡，玻爾認為，「被測量的微觀物體與做測量的儀器形成一個不容分割的共同體，這就是為甚麼EPR思想實驗提出的實在要素判據，當應用於量子現象時，顯得含混不清。」愛因斯坦和玻爾兩人彼此終生都沒有被對方說服。

同年，爱因斯坦和埃爾溫·薛定谔就EPR悖論在书信中交换了意见。薛定谔覺得，愛因斯坦已經捉到了量子力學的燕尾。他認為，「量子力學與相對論不相符合。」为了进一步显示量子力学的不完备性，他将量子力学应用到宏观效应中，从而构思了著名的薛定谔的猫思想实验。

1953年，英国物理学家大卫·玻姆同样认为哥本哈根诠释对物理实在的解释是不完备的，需要附加的参量来描述，他从而提出隐變量理论。1965年，北爱尔兰物理学家约翰·贝尔在此基础上提出贝尔不等式，这为隐變量理论提供了实验验证方法。从二十世纪七十年代至今，对贝尔不等式的验证给出的大多数结果是否定的。

1991年，大衛·梅爾銘（David Mermin）在一場講座裏直截了當的表示，「EPR論文有誤。」在稍後討論時，EPR作者之一，羅森很有禮貌的承認，「該論文無誤，它做了一些假設，然後給出邏輯的總結；該假設有誤。」

參見

• 莫特問題

外部連接

• EPR悖論原始論文：《Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality be Considered Complete?》 Phys.Rev.47 777(1935)
  • 中文版由杜雪翻譯：正體、簡體，麻省理工學院「開放式課程」。
• 沒有人看月亮時她是否還在那兒? --作者: 黃志偉