同构
外观
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同构(英語:Isomorphism)是一種线性变换,當T:V → W 是可逆時,這種线性变换就称之为同构。
在抽象代数中,同构指的是一个保持结构的双射。在更一般的范畴论语言中,同构指的是一个态射,且存在另一个态射,使得两者的复合是一个恒等态射。
正式的表述是:同构是在数学对象之间定义的一类映射,它能揭示出在这些对象的属性或者操作之间存在的关系。若两个数学结构之间存在同构映射,那么这两个结构叫做是同构的。一般来说,如果忽略掉同构的对象的属性或操作的具体定义,单从结构上讲,同构的对象是完全等价的,也就是说,如果我们定义一个关系∼ ,使得只要V和W同构,那么 V ∼ W ,可知 ∼ 是一个等价关系。
舉例
[编辑]對數和指數函數
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复数及其共轭函数
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引入同构的目的
[编辑]在数学中研究同构的主要目的是为了把数学理论应用于不同的领域。如果两个结构是同构的,那么其上的对象会有相似的属性和操作,对某个结构成立的命题在另一个结构上也就成立。因此,如果在某个数学领域发现了一个对象结构同构于某个结构,且对于该结构已经证明了很多定理,那么这些定理马上就可以应用到该领域。如果某些数学方法可以用于该结构,那么这些方法也可以用于新领域的结构。这就使得理解和处理该对象结构变得容易,并往往可以让数学家对该领域有更深刻的理解。
相關條目
[编辑]参考资料
[编辑]延伸阅读
[编辑]- Mazur, Barry, When is one thing equal to some other thing? (PDF), 12 June 2007 [2019-04-01], (原始内容存档 (PDF)于2019-10-24)
外部链接
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查看维基词典中的词条「isomorphism」。
- Hazewinkel, Michiel (编), Isomorphism, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Isomorphism. PlanetMath.
- 埃里克·韦斯坦因. Isomorphism. MathWorld.
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