拉格朗日定理 (群论)

拉格朗日定理是群论中一个重要的结果，描述了一个群和它的子群的元素个数之间的关系。这个定理对有限群的结构给出了很多线索。

定理陈述

拉格朗日定理^[1] — 如果 $H$ 是群 $G$ 的子群^{[注 1]}，那么 $|G|=|H|[G:H]$ 而如果 $G$ 是有限群，那么这个定理可以简化成—— $|H|$ 是 $|G|$ 的约数。

证明思路

定理的证明利用了陪集的以下性质：

一个子群的所有陪集在集合意义下有相同的大小^{[注 2]}（ Cardinality ）^[2]。
一个子群的所有陪集分割^{[注 3]}了整个群^[3]。
根据集合的特性， $G$ 的大小可以写成是陪集的大小（ $|H|$ ）乘上^{[注 4]}陪集的数量（ $[G:H]$ ）。

推论

由拉格朗日定理可立即得到——有限群 $G$ 中每个元素的阶（ Order ）都会整除群 $G$ 的阶（考虑由这个元素生成的循环群）。
如果 $|G|$ 是素数，那么 $G$ 同构于素数阶的循环群 $C_{|G|}$ （因为素数没有 $1$ 和自身以外的约数）^[4]。
费马小定理是拉格朗日定理的一个简单推论^[5]。

逆命题

拉格朗日定理的逆命题并一般来说不成立。 $|G|$ 的约数可能不是任何子群的阶。例如交错群 $A_{4}$ 的阶是 $12$ ，但它没有任何阶是 $6$ 子群^[6]。然而柯西定理以及它的推广——西罗定理——则表明：具有特定形式的约数确实是某个子群的阶；而如果 $G$ 是可解群的话，则西罗定理还可以进一步推广成霍尔定理（英语：Hall subgroup#Hall's theorem）。

参见

注解

^ 没有假设是有限群
^ 或称——势
^ 意思是每个群元素都位在刚好一个（ exactly one ）陪集之中
^ cardinality 意义下的乘法。在有限的情况下就和是普通意义的整数乘法

引用

^ Hungerford 1974，第39页，Corollary 4.6.
^ Hungerford 1974，第38页，Theorem 4.2.
^ Hungerford 1974，第38页，Corollary 4.3.
^ Gallian 2012，第149页，Corollary 3.
^ Gallian 2012，第149页，Corollary 5.
^ Gallian 2012，第149页，Example 5.

参考文献

Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra 第八版. Cengage Learning. 2012. ISBN 978-1133599708 （英语）.
Hungerford, Thomas William. Algebra 第一版. Springer. 1974. ISBN 978-1-4612-6101-8 （英语）.

[1] 没有假设是有限群

[3] 或称——势

[5] 意思是每个群元素都位在刚好一个（ exactly one ）陪集之中

[7] rdinality 意义下的乘法。在有限的情况下就和是普通意义的整数乘法

[FOOTNOTEHungerford197439Corollary_4.6-2] Hungerford 1974，第39页，Corollary 4.6.

[FOOTNOTEHungerford197438Theorem_4.2-4] Hungerford 1974，第38页，Theorem 4.2.

[FOOTNOTEHungerford197438Corollary_4.3-6] Hungerford 1974，第38页，Corollary 4.3.

[FOOTNOTEGallian2012149Corollary_3-8] Gallian 2012，第149页，Corollary 3.

[FOOTNOTEGallian2012149Corollary_5-9] Gallian 2012，第149页，Corollary 5.

[FOOTNOTEGallian2012149Example_5-10] Gallian 2012，第149页，Example 5.

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[注 1]

[注 2]

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[注 3]

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[注 4]

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