拉格朗日定理 (群论)
外观
拉格朗日定理是群论中一个重要的结果,描述了一个群和它的子群的元素个数之间的关系。这个定理对有限群的结构给出了很多线索。
定理陈述
[编辑]证明思路
定理的证明利用了陪集的以下性质:
推论
[编辑]- 由拉格朗日定理可立即得到——有限群 中每个元素的阶( Order )都会整除群 的阶(考虑由这个元素生成的循环群)。
- 如果 是素数,那么 同构于素数阶的循环群 (因为素数没有 和自身以外的约数)[4]。
- 费马小定理是拉格朗日定理的一个简单推论[5]。
逆命题
[编辑]拉格朗日定理的逆命题并一般来说不成立。 的约数可能不是任何子群的阶。例如交错群 的阶是 ,但它没有任何阶是 子群[6]。然而柯西定理以及它的推广——西罗定理——则表明:具有特定形式的约数确实是某个子群的阶;而如果 是可解群的话,则西罗定理还可以进一步推广成霍尔定理。
参见
[编辑]注解
[编辑]引用
[编辑]- ^ Hungerford 1974,第39页,Corollary 4.6.
- ^ Hungerford 1974,第38页,Theorem 4.2.
- ^ Hungerford 1974,第38页,Corollary 4.3.
- ^ Gallian 2012,第149页,Corollary 3.
- ^ Gallian 2012,第149页,Corollary 5.
- ^ Gallian 2012,第149页,Example 5.
参考文献
[编辑]- Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra 第八版. Cengage Learning. 2012. ISBN 978-1133599708 (英语).
- Hungerford, Thomas William. Algebra 第一版. Springer. 1974. ISBN 978-1-4612-6101-8 (英语).
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