子群

假设 $(G,*)$ 是一个 群（group），若 $H$ 是 $G$ 的一个非空子集（subset）且同时 $H$ 与相同的二元运算 $*$ 亦构成一个群，则 $(H,*)$ 称为 $(G,*)$ 的一个 子群（subgroup）。参阅群论。

更精确地来说，若运算 $*$ 在 $H$ 的限制也是个在 $H$ 上的群运算，则称 $H$ 为 $G$的子群。

一个群 $G$ 的 纯子群 是指一个子群 $H$，其为 $G$的纯子集（即 $H$ ≠ $G$）。任一个群总会有两个子群 当然群（为只包含单位元素的子群，{e}）以及 群本身。若 $H$ 为 $G$的子群，则 $G$ 有时会被称为 $H$ 的“母群”。

相同的定义可以应用在更广义的范围内，当 G 为一任意的半群，但此一条目中只处理群的子群而已。群G 有时会被标记成有序对(G,*)，通常用以强调其运算 $*$ 当 G 带有多重的代数或其他结构。

在下面的文章中，会使用省略掉 $*$ 的约定，并将乘积a*b写成 ab。

子群的检验

给定一个群$(G,*)$，$H$为$G$的子集，则有$H$为$G$的子群若且唯若$\forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H$。

若$H$为$G$的子群可表示为$H\leq G$，则以上表述可表示为:

$H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H$

证明：

$(\Longrightarrow )$：

因为$H\leq G$，对于任意$h'\in H$，$\exists h'^{-1}\in H$，另有$h\in H$，由于$H$为一个群，所以$h*h'^{-1}\in H$。

$(\Longleftarrow )$：

假设$\exists x\in H$，令$h=h'=x$，可得$h*h^{-1}=x*x^{-1}=e_{G}\in H$，即$H$存在单位元。

对于$x\in H$，令$h=e_{G}$，$h'=x$，可得$h*h^{-1}=e_{G}*x^{-1}=x^{-1}\in H$，即对于任意$x\in H$，存在$x^{-1}\in H$。

对于$x,y\in H$，令$h=x$，$h'=y^{-1}$，可得$h*h^{-1}=x*(y^{-1})^{-1}=x*y\in H$，即对于任意$x,y\in H$，$x*y\in H$。

因此$H\leq G\Longleftrightarrow \forall h,h'\in H,h*(h')^{-1}\in H$成立。

子群的基本性质

• $H\leq G$ $\Longleftrightarrow$$H\subseteq G$且存在一个映射$\phi :H\to G$,且对每个 $a\in H$ 有$\phi (a)=a$。
• $H\leq G$ $\Longleftrightarrow$$e_{H}=e_{G}$,其中$e_{H},e_{G}$为$H,G$ 的单位元素。
• 若$H\leq G$，则$a,b$为会使得$ab=ba=e_{H}$ 之 $H$ 中的元素，有$ab=ba=e_{G}$。
• 若$H_{1}\leq G,H_{2}\leq G\Rightarrow H_{1}\cap H_{2}\leq G$ .但$H_{1}\cup H_{2}$则不一定，例如2和3是在$2\mathbb {Z}$与$3\mathbb {Z}$的联集中，但其总和5则不是。
• 若S是G的子集，则存在一个包括S的最小子群，其可以由取得所有包括S的子群之交集来找出；此一最小子群被标记为<S>且称为由S产生的子群。G内的一个元素在<S>内若且唯若其为S内之元素的有限乘积且其逆元。
• 群G内的每一个元素a都会产生一个循环子群<a>。若<a>同构于某一正整数n之Z/nZ，则n会是最小个会使得aⁿ = e的正整数，且n被称为是a的“阶”。若<a>同构于Z，则a会被称有“无限阶”。
• 任一给定的群之子群都会形成一个在内含下的完全格，称之为子群格。(其最大下界为一般的集合论交集，而其一群子群的最小上界所此些子群之集合论联集“所产生”的子群。)若e为G的单位元素，则其当然群{e}会是群G的最小子群，而其最大子群则会是群G本身。

例子

1. 有限群

$G=\{0,1,2,3,4,5,6,7\}$ 和以8为模的加法为二元运算的群(此群亦同时是阿贝尔群)。 其凯莱表为

+	0	4	2	6	1	3	5	7
0	0	4	2	6	1	3	5	7
4	4	0	6	2	5	7	1	3
2	2	6	4	0	3	5	7	1
6	6	2	0	4	7	1	3	5
1	1	5	3	7	2	4	6	0
3	3	7	5	1	4	6	0	2
5	5	1	7	3	6	0	2	4
7	7	3	1	5	0	2	4	6

此凯莱表是故意不用常规的排列法来表明此群有著一对非当然子群：$J=\{0,4\}$ 和 $H=\{0,2,4,6\}$，其中 $J$ 亦是 $H$ 的子群。$H$ 的凯莱表是 $G$ 的凯莱表之左上半部。 $G$ 群是循环的，而其子群亦为。一般而言，循环群的子群亦为循环的。

2. 二面体群

如果$G=D_{n}$，则 $R=\{e,r,r^{2},...,r^{n-1}\}$是一个子群

3.群的中心，中心化子，正规化子

我们设$Z(G)$一个群G的子集，包含了所有与群G中其他元素可交换的元素，也就是说

$Z(G)=\{x\in G|\;xg=gx\;\,\;\forall \,g\in G\}$，此集合为群G的子群。我们称此子群为群的中心，记作$Z(G)$。

设A为G的任意子集，则A在G中的中心化子为集合$C_{G}(A)$，此集合的定义为:

$C_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gag^{-1}=a\;\;\forall a\in A\}$，此集合也是群G的子群。

至于A在G中的正规化子则为集合$N_{G}(A)$，此集合定义为:

$N_{G}(A)=\{g\in G\;|\;gAg^{-1}\subseteq A\}$，此集合也是群G的子群。

陪集和拉格朗日定理

给定一子群H和G内的某一元素a，则可定义出一个左陪集 aH={ah;h∈H}。因为a为可逆的，由φ(h) = ah给出之映射φ : H → aH为一个双射。更甚地，每一个G内的元素都包含在恰好一个H的左陪集中；其左陪集为对应于一等价关系的等价类，其等价关系a₁ ~ a₂若且唯若a₁⁻¹a₂会在H内。H的左陪集之数目称之为H在G内的“指数”，并标记为[G:H]。

拉格朗日定理叙述著对一个有限群G和一个子群H而言，

$[G:H]={o(G) \over o(H)}$

其中o(G)和o(H)分别为G和H的阶。特别地是，每一个G的子群的阶(和每一个G内元素的阶)都必须为o(G)的因数。 右陪集为相类比之定义：Ha = {ha : h∈H}。其亦有对应于一适当之等价关系的等价类，且其个数亦会相等于[G:H]。

若对于每个在G内的a，aH=Ha，则H称之为正规子群。每一个指数2的子群皆为正规的：左陪集和右陪集都简单地为此一子群和其补集。

另见

• 嘉当子群
• 费汀子群
• 稳定子群