整環

  提示：此條目頁的主題不是整數環。

整環（Integral domain），又譯作整域，是抽象代數中的一個概念，指含乘法單位元的無零因子的交換環。一般假設環中乘法單位元1不等於加法單位元0，以除去平凡的環$\{0\}$。整環是整數環的抽象化，它很好地繼承了整數環的整除性質，使得我們能夠更好地研究整除理論。

整環也可以定義為理想$\{0\}$是素理想的交換環，或交換的無零因子環。

形式定義

設$\left({\mathcal {R}},+,\times \right)$是一個交換環，存在$e\in {\mathcal {R}}$，$e\neq 0$（0為加法單位元），使得

$\forall a\in {\mathcal {R}},a\times e=e\times a=a,$（存在乘法單位元）

並且對任意的$a,b\in {\mathcal {R}}$，如果$a\times b=0$，那麼或者$a=0$，或者$b=0$。用數學方式表示為：

$\forall (a,b)\in {\mathcal {R}}^{2},\ a\times b=0\quad \Rightarrow \quad (a=0\;\;\lor \;\;b=0).$（沒有零因子）

就稱其為整環。

定義中的無零因子性質也可以用環中乘法的消去律替代：如果$a\times c=b\times c$，並且$c\neq 0$，那麼$a=b$。用數學方法表示就是：

$\forall (a,b,c)\in {\mathcal {R}}^{3},\ (a\times c=b\times c\;\;\land \;\;c\neq 0)\quad \Rightarrow \quad a=b.$

例子

• 整環的代表性例子是整數環$\mathbb {Z}$。$(\mathbb {Z} ,+,\times )$是一個交換環，並且乘法單位元1不等於加法單位0。最後，兩個整數相乘等於0，則必然有其中一個等於0。
• 多項式環是整環當且僅當其係數構成整環。比如整係數一元多項式環$\mathbb {Z} [X]$和實係數二元多項式環$\mathbb {R} [X,Y]$。
• 每個域都是整環。相對的，每個阿廷整環都是域。特別地，每個有限的整環都是有限域。整數環$\mathbb {Z}$就是一個非阿廷整環不是域的例子，因為它有無窮遞降的理想列：

$\mathbb {Z} \;\supset \;2\mathbb {Z} \;\supset \;\ldots \;\supset \;2^{n}\mathbb {Z} \;\supset \;2^{n+1}\mathbb {Z} \;\supset \;\cdots$

• 對每個整數$n>0$，$\mathbb {Z} +{\sqrt {n}}\mathbb {Z}$是實數域$\mathbb {R}$的子環，因此是整環。$\mathbb {Z} +i{\sqrt {n}}\mathbb {Z}$是複數域$\mathbb {C}$的子環，因此是整環。當$n=1$時，後者被稱為高斯整數環。
• 若${\mathcal {R}}$是一個交換環，$P$是${\mathcal {R}}$的一個理想，那麼商環$^{\mathcal {R}}/_{P}$是整環當且僅當P是素理想。由此可推出${\mathcal {R}}$是整環當且僅當$\{0\}=^{\mathcal {R}}/_{\mathcal {R}}$是素理想。

整除、素元、既約元

在整環上可以定義類似於整數環里的整除性質。

a與b是R中的兩個元素，定義a整除b或a是b的約數或b是a的倍數，當且僅當存在R中的一個元素x使得ax = b。

整除關係滿足傳遞性，即a整除b，b整除c推出a整除c。a整除b，則a整除b的所有倍數。a的兩個倍數的和與差仍是a的倍數。

1的約數稱為R的可逆元。可逆元整除所有元素。

若a整除b並且b整除a，則稱a與b相伴。a與b相伴當且僅當存在可逆元u使得au = b。

非可逆元q稱為既約元，如果q不能寫成兩個非可逆元的乘積。

如果p不是零元或可逆元，且對任意a，b，如果p整除ab可推出p整除a或p整除b，則稱p為素元。

這兩個定義是整數環中素數的推廣。如果p是素元，那麼p生成的主理想是素理想。每個素元都是既約元，但反過來則只有當R是唯一分解環才正確。