假設
是一個 群(group),若
是
的一個非空子集(subset)且同時
與相同的二元運算
亦構成一個群,則
稱為
的一個 子群(subgroup)。參閱群論。
更精確地來說,若運算
在
的限制也是個在
上的群運算,則稱
為
的子群。
一個群
的 純子群 是指一個子群
,其為
的純子集(即
≠
)。任一個群總會有兩個子群 當然群(為只包含單位元素的子群,{e})以及 群本身。若
為
的子群,則
有時會被稱為
的「母群」。
相同的定義可以應用在更廣義的範圍內,當 G 為一任意的半群,但此一條目中只處理群的子群而已。群G 有時會被標記成有序對(G,*),通常用以強調其運算
當 G 帶有多重的代數或其他結構。
在下面的文章中,會使用省略掉
的常規,並將乘積a*b寫成 ab。
給定一個群
,
為
的子集,則有
為
的子群當且僅當
。
若
為
的子群可表示為
,則以上表述可表示為:
證明:
:
因為
,對於任意
,
,另有
,由於
為一個群,所以
。
:
假設
,令
,可得
,即
存在單位元素。
對於
,令
,
,可得
,即對於任意
,存在
。
對於
,令
,
,可得
,即對於任意
,
。
因此
成立。
![{\displaystyle \Longleftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a3a1a17366e695966bae38466f8466653a43f4)
且存在一個映射
,且對每個
有
。
![{\displaystyle \Longleftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74a3a1a17366e695966bae38466f8466653a43f4)
,其中
為
的單位元素。
- 若
,則
為會使得
之
中的元素,有
。
- 若
.但
則不一定,例如2和3是在
與
的併集中,但其總和5則不是。
- 若S是G的子集,則存在一個包括S的最小子群,其可以由取得所有包括S的子群之交集來找出;此一最小子群被標記為<S>且稱為由S產生的子群。G內的一個元素在<S>內當且僅當其為S內之元素的有限乘積且其反元素。
- 群G內的每一個元素a都會產生一個循環子群<a>。若<a>同構於某一正整數n之Z/nZ,則n會是最小個會使得an = e的正整數,且n被稱為是a的「階」。若<a>同構於Z,則a會被稱有「無限階」。
- 任一給定的群之子群都會形成一個在內含下的完全格,稱之為子群格。(其最大下界為一般的集合論交集,而其一群子群的最小上界所此些子群之集合論併集「所產生」的子群。)若e為G的單位元素,則其當然群{e}會是群G的最小子群,而其最大子群則會是群G本身。
和以8為模的加法為二元運算的群(此群亦同時是阿貝爾群)。
其凱萊表為
+
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0
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4
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2
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6
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1
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3
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5
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7
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0
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0 |
4 |
2 |
6 |
1 |
3 |
5 |
7
|
4
|
4 |
0 |
6 |
2 |
5 |
7 |
1 |
3
|
2
|
2 |
6 |
4 |
0 |
3 |
5 |
7 |
1
|
6
|
6 |
2 |
0 |
4 |
7 |
1 |
3 |
5
|
1
|
1 |
5 |
3 |
7 |
2 |
4 |
6 |
0
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3
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3 |
7 |
5 |
1 |
4 |
6 |
0 |
2
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5
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5 |
1 |
7 |
3 |
6 |
0 |
2 |
4
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7
|
7 |
3 |
1 |
5 |
0 |
2 |
4 |
6
|
此凱萊表是故意不用常規的排列法來表明此群有着一對非當然子群:
和
,其中
亦是
的子群。
的凱萊表是
的凱萊表之左上半部。
群是循環的,而其子群亦為。一般而言,循環群的子群亦為循環的。
如果
,則
是一個子群
我們設
一個群G的子集,包含了所有與群G中其他元素可交換的元素,也就是說
,此集合為群G的子群。我們稱此子群為群的中心,記作
。
設A為G的任意子集,則A在G中的中心化子為集合
,此集合的定義為:
,此集合也是群G的子群。
至於A在G中的正規化子則為集合
,此集合定義為:
,此集合也是群G的子群。
給定一子群H和G內的某一元素a,則可定義出一個左陪集 aH={ah;h∈H}。因為a為可逆的,由φ(h) = ah給出之映射φ : H → aH為一個對射。更甚地,每一個G內的元素都包含在恰好一個H的左陪集中;其左陪集為對應於一等價關係的等價類,其等價關係a1 ~ a2當且僅當a1−1a2會在H內。H的左陪集之數目稱之為H在G內的「指數」,並標記為[G:H]。
拉格朗日定理敘述著對一個有限群G和一個子群H而言,
![{\displaystyle [G:H]={o(G) \over o(H)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a659c61f274e8d6013b12584f84728208c5974aa)
其中o(G)和o(H)分別為G和H的階。特別地是,每一個G的子群的階(和每一個G內元素的階)都必須為o(G)的因數。
右陪集為相類比之定義:Ha = {ha : h∈H}。其亦有對應於一適當之等價關係的等價類,且其個數亦會相等於[G:H]。
若對於每個在G內的a,aH=Ha,則H稱之為正規子群。每一個指數2的子群皆為正規的:左陪集和右陪集都簡單地為此一子群和其補集。