绿色箭头代表可能的映射关系，红色箭头代表不可能的映射关系。圆圈表示集合或子集。 ZFC集合论 中，康托尔定理 （英语：Cantor's theorem ）断言对任意集合
A
{\displaystyle A}
幂集 （所有子集 的集合 ）的势 严格大于
A
{\displaystyle A}
对于有限集合 该结论是显然的。对势为
n
{\displaystyle n}
2
n
{\displaystyle 2^{n}}
非负整数
n
{\displaystyle n}
2
n
>
n
{\displaystyle 2^{n}>n}
满射 。
但更重要的是对任意无限集合 ，康托尔定理也成立。这同时证明了，可数无限 集合构造的幂集 的基数是严格大于任何可数无限，以此创造出不可数无限 的概念。
证明：对任何的集合
S
{\displaystyle S}
P
(
S
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}
（利用归谬法）假设：可以找到一个集合
A
{\displaystyle A}
f
:
A
→
P
(
A
)
{\displaystyle f:A\to {\mathcal {P}}(A)}
对于
A
{\displaystyle A}
s
{\displaystyle s}
s
{\displaystyle s}
f
(
s
)
{\displaystyle f(s)}
f
(
s
)
{\displaystyle f(s)}
我们假设
T
=
{
x
∈
A
|
x
∉
f
(
x
)
}
{\displaystyle T=\{x\in A\,|\,x\notin f(x)\}}
T
∈
P
(
A
)
{\displaystyle T\in {\mathcal {P}}(A)}
x
{\displaystyle x}
f
(
x
)
=
T
{\displaystyle f(x)=T}
（1）如果
x
∈
T
{\displaystyle x\in T}
T
{\displaystyle T}
x
∉
f
(
x
)
{\displaystyle x\notin f(x)}
f
(
x
)
=
T
{\displaystyle f(x)=T}
x
∉
T
{\displaystyle x\notin T}
（2）如果
x
∉
T
{\displaystyle x\notin T}
T
{\displaystyle T}
x
∈
f
(
x
)
{\displaystyle x\in f(x)}
f
(
x
)
=
T
{\displaystyle f(x)=T}
x
∈
T
{\displaystyle x\in T}
两者都矛盾。因此我们对于存在函数
f
{\displaystyle f}
[ 1]
集合的个数为可数无限 时可以用对角线法证明康托尔定理。不失一般性地，我们考虑自然数 的集合。
欲证：不存在从自然数集
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
幂集
P
(
N
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}
双射 函数
f
:
N
→
P
(
N
)
{\displaystyle f:\mathbb {N} \to {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}
（利用归谬法）假设：存在从自然数集
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
P
(
N
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}
f
:
N
→
P
(
N
)
{\displaystyle f:\mathbb {N} \to {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}
那么我们就可以依序将所有两个集合之间的“对应”如下列出（这里的数字只是示例），表中含有所有“自然数构成的集合”：
X
{
1
⟺
{
4
,
5
}
2
⟺
{
1
,
2
,
3
}
3
⟺
{
4
,
5
,
6
}
4
⟺
{
1
,
3
,
5
}
⋮
⋮
⋮
}
P
(
N
)
{\displaystyle X{\begin{Bmatrix}1&\Longleftrightarrow &\{4,5\}\\2&\Longleftrightarrow &\{1,2,3\}\\3&\Longleftrightarrow &\{4,5,6\}\\4&\Longleftrightarrow &\{1,3,5\}\\\vdots &\vdots &\vdots \end{Bmatrix}}P(\mathbb {N} )}
虽然在集合中，元素的顺序不重要，但我们假设从左到右以由小到大的方式记录幂集合中的元素，以便讨论。
通过这个“对应表”，我们可以构造一个自然数集合
W
{\displaystyle W}
当左侧的自然数“属于”它对应的幂集合，我们就在
W
{\displaystyle W}
反之当左侧的自然数“不属于”它对应的幂集合，我们就在
W
{\displaystyle W}
1
⟺
{
4
,
5
}
,
1
∉
{
4
,
5
}
{\displaystyle 1\Longleftrightarrow \{4,5\},1\notin \{4,5\}}
1
∈
W
{\displaystyle 1\in W}
W
{\displaystyle W}
2
⟺
{
1
,
2
,
3
}
,
2
∈
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle 2\Longleftrightarrow \{1,2,3\},2\in \{1,2,3\}}
2
∉
W
{\displaystyle 2\notin W}
W
{\displaystyle W}
......
W
{\displaystyle W}
但
W
{\displaystyle W}
因此假设的
f
{\displaystyle f}
P
(
N
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}
势 和自然数的势不相等。
虽然用归谬法没能得知哪个集合的势更大，但由于
P
(
N
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}
单元素集合
{
n
}
{\displaystyle \{n\}}
P
(
N
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}
P
(
N
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
综上，
P
(
N
)
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )}
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
格奥尔格·康托尔 在1891年发表的论文《Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre》中本质上给出了这个证明，实数 不可数的对角论证法 也首次在这里出现。在这个论文中给出的这个论证的版本使用的是在集合上的指示函数 而不是集合子集。他证明了如果f 是定义在X 上的函数，它的值是在X 上的二值函数，则二值函数G (x ) = 1 − f (x )(x )不在f 的值域 中。
罗素在《数学原理》（1903, section 348）中给出了一个非常类似的证明，在这里他证明了命题函数 要比对象多。“假设所有对象和所有和它们相关的命题函数之间有一种对应，并令phi-x 为x 所对应的命题函数。则'非-phi-x (x )'，也即"phi-x 对于x 不成立",是一个在这个对应中没有出现的命题函数；因为它在phi-x 假的时候为真，在phi-x 真的时候为假，因此它和任何一个x 所对应的phi-x 不同”。他在康托尔之后贡献了这个想法。
恩斯特·策梅洛 在他1908年发表的成为现代集合论基础的论文《Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I》中有一个定理（他称之为康托尔定理）同于上面的论证形式。
康托尔定理的一个推论请参见beth数 。
^ Stenphen Fletcher Hewson, 数学桥——对高等数学的一次观赏之旅 ：1.1.7 超越无限大. 数学桥——对高等数学的一次观赏之旅 ：1.1.7 超越無限大. 上海科技教育出版社. 2010/8/7: p.12. ISBN 978-7-5428-4981-6
Paul Halmos, Naive set theory . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded . Springer. ISBN 3-540-44085-2 .
