無理數是指除有理數以外的實數,當中的「理」字來自於拉丁語的rationalis,意思是「理解」,實際是拉丁文對於logos「說明」的翻譯,是指無法用兩個整數的比來說明一個無理數。
非有理數之實數,不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式,小數點之後的數字有無限多個,並且不會循環,即無限不循環小數。常見的無理數有大部分的平方根、π和e(其中後兩者同時為超越數)等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。
傳說中,無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現。他以幾何方法證明
無法用整數及分數表示。而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示,不相信無理數的存在。後來希伯斯觸犯學派章程,將無理數透露給外人,因而被扔進海中處死,其罪名竟然等同於「瀆神」。另見第一次數學危機。
無理數可以通過有理數的分劃的概念進行定義。





- 無理數加或減有理數必得無理數。
- 無理數乘不等於0的有理數必得無理數。
不知是否是無理數的數[編輯]
、
等,事實上,對於任何非零整數
及
,不知道
是否無理數。
無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數,只有
、
等除外。
我們亦不知道
、
、
、歐拉-馬歇羅尼常數
或卡塔蘭常數
是否無理數。
無理數集的特性[編輯]
無理數集是不可數集(因有理數集是可數集而實數集是不可數集)。無理數集是個不完備的拓撲空間,它是與所有正數數列的集拓撲同構的,當中的同構映射是無理數的連分數開展。因而貝爾綱定理可以應用在無數間的拓撲空間上。
無理化作連分數的表達式[編輯]
,
選取一個正的實數
使得
。
經由遞迴處理

一些無理數的證明[編輯]
證明
是無理數[編輯]
證:
假設
是有理數,並且令
,
是最簡分數。
兩邊平方,得到
。將此式改寫為
,可見
為偶數。
因為平方運算保持奇偶性,所以
只能為偶數。設
,其中
為整數。
代入可得
。同理可得
亦為偶數。
這與
為最簡分數的假設矛盾, 所以
是有理數的假設不成立。
證明
是無理數[編輯]
證:
假設
是有理數,兩邊平方得到

其中因為
是有理數,所以
也是有理數。
透過證明
為無理數的方法,其中
為一整數
可以證明
是無理數
同樣也推出
是無理數
但這又和
是有理數互相矛盾
所以
是一無理數
證明
是無理數[編輯]
證:
同樣,假設
是有理數,兩邊平方後得到
,
於是
是有理數。兩邊再次平方,得:
,
於是
由於
是有理數,所以


透過證明形如
的數是無理數的方法,得出
也是一無理數
但這結果明顯和
與
皆為有理數出現矛盾,故
為無理數
另一種證明:
同樣假設
是有理數,

,兩邊平方:



透過證明形如
的數是無理數的方法,得出
是一無理數
也是矛盾的。
證明
是無理數[編輯]
證:

,兩邊平方得到:

,得到
為一有理數
,兩邊繼續平方:

![\Rightarrow \left({\sqrt {6}}+{\sqrt {10}}+{\sqrt {15}}\right)^{2}=\left[\left(p^{2}-{\frac {3}{2}}\right)-p{\sqrt {7}}\right]^{2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/908ddcae4876aa0183c6675eee3658f9106185db)



由於
,
皆為有理數
設
,
亦為有理數
透過證明形如
的數是無理數的方法,可知
為無理數
這和
是有理數衝突
所以得證
為一無理數
外部連結[編輯]