無理數

維基百科,自由的百科全書
前往: 導覽搜尋
各種各樣的
基本

正數
自然數
正整數
小數
有限小數
無限小數
循環小數
有理數
代數數
實數
複數
高斯整數

負數
整數
負整數
分數
單位分數
二進分數
規矩數
無理數
超越數
虛數
二次無理數
艾森斯坦整數

延伸

雙複數
四元數
共四元數
八元數
超數
上超實數

超複數
十六元數
複四元數
大實數
超實數
超現實數

其他

對偶數
雙曲複數
序數
質數
同餘
可計算數
艾禮富數

公稱值
超限數
基數
P進數
規矩數
整數數列
數學常數

圓周率  = 3.141592653…
自然對數的底  = 2.718281828…
虛數單位  = 
無窮大

無理數,當中的「理」字來自於拉丁語的rationalis,意思是「理解」,實際是拉丁文對於logos「說明」的翻譯,因為沒有辦法用兩個整數的比來說明一個無理數。

有理數實數,不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式,小數點之後的數字有無限多個,並且不會循環,即無限不循環小數。常見的無理數有大部分的平方根πe(其中後兩者同時為超越數)等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。

傳說中,無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現。他以幾何方法證明無法用整數分數表示。而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示,不相信無理數的存在。後來希伯斯觸犯學派章程,將無理數透露給外人,因而被處死,其罪名竟然等同於「瀆神」。另見第一次數學危機

無理數可以通過有理數的分劃的概念進行定義。

舉例[編輯]

性質[編輯]

  • 無理數加或減有理數必得無理數。
  • 無理數乘不等於0的有理數必得無理數。

不知是否是無理數的數[編輯]

等,事實上,對於任何非零整數,不知道是否無理數。

無理數與無理數的四則運算的結果往往不知道是否無理數,只有等除外。

我們亦不知道歐拉-馬歇羅尼常數卡塔蘭常數是否無理數。

無理數集的特性[編輯]

無理數集是不可數集(因有理數集是可數集而實數集是不可數集)。無理數集是個不完備拓撲空間,它是與所有正數數列的集拓撲同構的,當中的同構映射是無理數的連分數開展。因而貝爾綱定理可以應用在無數間的拓撲空間上。

無理化作連分數的表達式[編輯]

選取一個正的實數使得

經由遞迴處理

一些無理數的證明[編輯]

證明是無理數[編輯]

證:

假設是有理數,並且令是最簡分數。由於不是整數,所以

將兩邊平方,得到

因為是最簡分數,所以也是最簡分數。

的最簡分數只能夠是,由此得出,這與 矛盾。

所以假設不成立,是無理數。

證明是無理數[編輯]

證:

假設是有理數,兩邊平方得到

其中因為是有理數,所以也是有理數。

透過證明為無理數的方法,其中為一整數

可以證明是無理數

同樣也推出是無理數

但這又和是有理數互相矛盾

所以是一無理數

證明是無理數[編輯]

證:

同樣,假設是有理數,兩邊平方後得到

於是是有理數。兩邊再次平方,得:

於是

由於是有理數,所以

透過證明形如的數是無理數的方法,得出也是一無理數

但這結果明顯和皆為有理數出現矛盾,故為無理數

另一種證明:

同樣假設是有理數,

,兩邊平方:

透過證明形如的數是無理數的方法,得出是一無理數

也是矛盾的。

證明是無理數[編輯]

證:

,兩邊平方得到:

,得到為一有理數

,兩邊繼續平方:

由於皆為有理數

亦為有理數

透過證明形如的數是無理數的方法,可知為無理數

這和是有理數衝突

所以得證為一無理數

參見[編輯]

外部連結[編輯]