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整環

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整環(Integral domain),又譯作整域,是抽象代數中的一個概念,指含乘法單位元的無零因子交換環。一般假設環中乘法單位元1不等於加法單位元0,以除去平凡的環。整環是整數環的抽象化,它很好地繼承了整數環的整除性質,使得我們能夠更好地研究整除理論。

整環也可以定義為理想是素理想的交換環,或交換的無零因子環。

形式定義

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是一個交換環,存在(0為加法單位元),使得

(存在乘法單位元)

並且對任意的,如果,那麼或者,或者。用數學方式表示為:

(沒有零因子)

就稱其為整環[1]:19

定義中的無零因子性質也可以用環中乘法的消去律替代:如果,並且,那麼[2]:119。用數學方法表示就是:

例子

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  • 整環的代表性例子是整數環是一個交換環,並且乘法單位元1不等於加法單位0。最後,兩個整數相乘等於0,則必然有其中一個等於0。
  • 多項式環是整環當且僅當其係數構成整環。比如整係數一元多項式環和實係數二元多項式環
  • 每個都是整環[2]:122。相對的,每個阿廷整環都是域。特別地,每個有限的整環都是有限域。整數環就是一個非阿廷整環不是域的例子,因為它有無窮遞降的理想列:
  • 對每個整數是實數域的子環,因此是整環。是複數域的子環,因此是整環。當時,後者被稱為高斯整數環
  • 是一個交換環,的一個理想,那麼商環是整環當且僅當P素理想。由此可推出是整環當且僅當素理想

整除、素元、既約元

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在整環上可以定義類似於整數環里的整除性質。

abR中的兩個元素,定義a整除bab的約數或ba倍數,當且僅當存在R中的一個元素x使得ax = b

整除關係滿足傳遞性,即a整除bb整除c推出a整除ca整除b,則a整除b的所有倍數。a的兩個倍數的和與差仍是a的倍數。

1的約數稱為R可逆元。可逆元整除所有元素。

a整除b並且b整除a,則稱ab相伴ab相伴當且僅當存在可逆元u使得au = b

非可逆元q稱為既約元,如果q不能寫成兩個非可逆元的乘積。

如果p不是零元或可逆元,且對任意a,b,如果p整除ab可推出p整除ap整除b,則稱p素元

這兩個定義是整數環中素數的推廣。如果p是素元,那麼p生成的主理想是素理想。每個素元都是既約元,但反過來則只有當R唯一分解環才正確。

參考資料

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  1. ^ (法文)Jean Fresnel. Anneaux. Hermann. 2001. ISBN 2 7056 1447 8. 
  2. ^ 2.0 2.1 (英文)Joseph J. Rotman. Advanced Modern Algebra. American Mathematical Society. 2010年8月. ISBN 978-0821847411.