有限几何学

2阶有限仿射平面，包含4个点和6条线。相同颜色的线是“平行”的。

在数学中，有限几何是满足某些几何学公理，但仅含有限个点的几何系统。欧氏几何并非有限，因为它必包含一条欧氏直线，其上的点一一对应于实数。

有限几何系统可以依维度分类，为简单起见，以下仅介绍低维度的情形。

有限平面

有限平面几何可以分为仿射与射影两类。在仿射空间中可以探讨线的平行性，射影空间则否。

定义. 仿射平面是一个非空集 $X$（其成员称为点）及一族 $X$ 的子集 $L$（其成员称为线），使之满足下述条件：

1. 任两点包含于唯一的一条线。
2. 平行公设：给定线 $\ell$ 及点 $p\notin \ell$，存在唯一的线 $\ell '$ 使之包含 $p$ 且 $\ell \cap \ell '=\emptyset$。
3. 存在四个点，其中任三点不共线。

最后一条公设保证几何非空，前两条公设确定了几何的性质。

最简单的仿射平面由四点构成，其中任两点决定唯一一条线，所以此平面有六条线。这可以设想为四面体的顶点与边。

一般而言，$n$阶仿射平面有 $n^{2}$ 个点与 $n^{2}+n$ 条线；每条线含 $n$ 点，每点落于 $n+1$ 条线。

定义. 射影平面是一个非空集 $X$（其成员称为点）及一族 $X$ 的子集 $L$（其成员称为线），使之满足下述条件：

1. 任两点包含于唯一的一条线。
2. 任两条相异的线交于唯一一点。
3. 存在四个点，其中任三点不共线。

Fano 平面的图解

在上述公理中，我们可以交换点及线的角色，这蕴含了射影几何的对偶性：若射影几何的某命题成立，则将命题中的点与线互换后，新命题依然成立。

最简单的射影平面称作 Fano 平面，又称二阶射影平面，由七条线及七个点构成。若除去任一直线（及其上之点），将得到二阶仿射平面。

一般而言，$n$ 阶射影平面的点、线个数均为 $n^{2}+n+1$，每条线含 $n+1$ 个点，每个点落于 $n+1$ 条线。

对任意正整数 $n$，$n$ 阶射影或仿射平面的存在性至今未解。一般的猜想是这种几何存在当且仅当 $n$ 是素数幂。

有限几何的对称群

若一映射 $f:X\to X$ 保存共线关系，则称之为 $X$ 的对称（或自同构）。Fano 平面的对称群同构于 $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {F} _{7})$，有 $168$ 个元素。

外部链接

• （英文）有限几何资源 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• （英文）Chris Godsil, Finite Geometry，2004. 可自由下载。