量子成像

量子成像演示

量子成像（英語：Quantum Imaging，QI），又稱鬼成像（英語：Ghost Imaging，GI）、關聯成像（英語：Correlated imaging，CI）等，是一種利用光場的二階或高階關聯獲得物體資訊的成像方法。量子成像屬於非定域成像，其概念起源於20世紀50年代的HB-T實驗。繼纏結光量子成像實驗之後，陸續有研究者提出了經典光量子成像、無透鏡量子成像、計算量子成像、差分量子成像等技術。量子成像技術在光刻、激光雷達、生物組織造影、水下成像等領域都有應用。

歷史

基礎研究

強度干涉儀的抽象示意圖

自發參量下轉換示意圖

20世紀50年代，漢伯里·布朗（英語：R. Hanbury Brown）與特威斯（英語：R. Q. Twiss）進行了HB-T實驗，其主要內容是設計了一種干涉儀以解決在基線較長的情況下，無線電星角直徑的測量問題。這種干涉儀在無線電天文學中又被稱為強度干涉儀，其大致結構是：來自光源的光被半鍍銀鏡分為兩束，分別照射兩個光電倍增管的陰極，兩管的輸出電流經過放大以後在線性混頻器中相乘，如此持續運行大約一小時以獲得可觀測的結果。因此其在形態上類似邁克生干涉儀，但不同點在於，邁克生干涉儀是在檢測之前混合兩路信號，並且信號在混合之前始終擁有相位資訊。這種干涉儀則不然，進行混合的只是兩路信號的強度，相位資訊在經過光電倍增管之後已經被抹去了。但即便如此，兩路信號仍然表現出相干性，這意味着光場的相干性不僅在相位上體現出來，甚至僅僅在強度上也可以體現。文章發表之後，一些物理學家無法在HB-T實驗驗證中得出顯著的相干性，並聲稱「這種相干性的存在要求對量子力學中一些基本概念進行重大修訂」。漢伯里·布朗和特威斯進行了理論推導，並嘗試了對天狼星A的觀測，最終驗證了實驗結果的合理性。這個實驗將光子符合探測引入光學實驗，使得人們認識到光的二階干涉效應會造成光場的強度關聯（相關性）。

1970年，美國國家宇航局電子研究中心的大衛·伯納姆（英語：David Burnham）與唐納德·溫伯格（英語：Donald Weinberg）在光子計數實驗中使用了名叫「自發參量下轉換」的非線性光學技術。兩人用氦-鎘激光器產生325nm激光束泵浦25mm長的磷酸二氫銨（ADP）晶體，測得入射光子轉化為相位匹配（入射光子動量和能量等於兩出射光子動量和與能量和）的雙光子的機率最大。這一技術使得纏結光子對可以很方便地獲得。1985年以後，人們開始注意到自發參量下雙光子場的存在，並開始對其進行研究和應用。1988年，蘇聯學者大衛·尼古拉耶維奇提出了一種用來驗證愛因斯坦-波多爾斯基-羅森實驗，並證明互補原理的方法，其中設計的一種裝置實際上可以作為量子成像設備使用。這種裝置進行符合檢測的方法是，用兩路探測器中的一路是否收到光子，來控制另一路探測的開閉。大衛·尼古拉耶維奇也由此被認為是量子成像方案的提出者。

纏結光量子成像

史硯華小組的量子成像裝置

裝置沿光路展開

1994年，大衛·尼古拉耶維奇在一篇嘗試同時使用經典表述和量子表述解釋光的量子性質的論文中，從量子力學的角度闡釋了雙光子非定域成像的理論基礎。1995年，美國馬里蘭大學的史硯華小組以纏結雙光子作為光源，結合符合測量技術，實現了量子成像。史硯華小組用波長351.1nm的氬離子激光器產生直徑2mm的光束作為泵浦源，泵浦被切割成為簡併II型相位匹配角的${\ce {\beta-BaB2O4}}$（偏硼酸鋇，BBO）晶體，出射兩路正交偏振信號。分別將從BBO晶體的e-射線平面和o-射線平面出射的光束稱為信號光和閒置光，這兩路光的波長均為702.2nm，即泵浦光波長的二倍。混合有未經自發參量下轉換的原泵浦光、信號光和閒置光的混合光束經過紫外級熔融石英色散稜鏡濾除剩餘的波長為351.1nm的原泵浦光，進入作為偏振分束器的湯普森稜鏡將信號光和閒置光分開。信號光束照射焦距為400mm的成像凸透鏡，透過的光束經過一個簡併波長為702.2nm、帶寬為83nm的濾光片，再照射在物體（寫有「UMBC」字樣的光圈）上。經過物體之後，信號光束再通過一個焦距為25mm的收集凸透鏡，到達一個直徑為0.8mm的乾冰冷卻雪崩光電二極體D1，這個雪崩光電二極體恰位於收集透鏡的焦點上。閒置光束經過另一個同樣的濾光片，不經過物體，直接照射在由0.5mm多模光纖尖端上，再到達另一個乾冰冷卻雪崩二極體D2。兩個正交的編碼驅動檢測器在垂直於光束方向的平面上進行掃描，並將檢測器的輸出脈衝發送到接收窗口為1.8ns的符合計數器。設成像透鏡到收集透鏡距離為S，成像透鏡到多模光纖尖端距離為S'，成像透鏡焦距為f，當三者滿足關係式

$${\frac {1}{S}}+{\frac {1}{S'}}={\frac {1}{f}}$$

時，裝置可產生清晰物像。其中符合計數器的原理是，兩探測器均有響應時才計數，如果只有一個有響應或都沒有響應則不計數。探測器D1沒有空間解像度，D2所在的閒置光（參考光）光路中沒有待成像物體，所以兩者都不能單獨完成物體成像；但處於無物體參考光路的D2探測器經過逐點掃描再與D1結果關聯之後得到了物體的像，使得量子成像又被稱為「鬼」成像。

1997年，索托·里貝羅（英語：P. H. Souto Ribeiro）小組發現，當自發參量下轉換晶體足夠薄（在泵浦光傳播方向上足夠短）時，泵浦光束的角頻譜將轉化為自發參量下轉換過程生成的雙光子狀態。小組通過將自發參量下轉換光束的橫向特性與泵浦光束的橫向特性聯繫起來，提出了控制信號光子與閒置光子之間橫向空間相關性的方法，實現了對纏結光子關聯性質的調製，使得在不向信號光路和閒置光路添加任何光學器件的情況下，也可以控制符合檢測入射光束的橫向特性，而不對強度產生影響。

經典光量子成像

史硯華小組實驗驗證量子成像之後，經典光是否能實現量子成像在學術界產生了爭議。2001年，波士頓大學的艾曼·阿布瓦迪（英語：Ayman F. Abouraddy）小組分別用經典光和纏結光進行了量子成像實驗，之後發表評論稱，纏結光可以成部分相干像或者甚至完全相干像，經典光只能成非相干像；量子成像是纏結光的特性，其他雙光子源並不能模仿。然而，2002年，羅切斯特大學的瑞安·本寧克（英語：Ryan S. Bennink）團隊就使用隨機掃描激光光源證明了了經典光源也可以進行量子成像。Bennink團隊對連續激光束進行斬波，通過隨機旋轉反射鏡產生不同方向的偏轉光，再通過分束器來產生經典光源；用桶探測器檢測信號光是否未被測試圖案遮擋，並記錄信號光未被遮擋時CCD拍攝參考光記錄下的幀，即用桶探測器門控CCD。實驗結果是，未門控時CCD無法拍攝到圖案，經過門控之後CCD可以拍攝到測試圖案。這證明了，儘管經典光源沒有纏結光源所特有的一些全局性質，但具有一定相關性的經典光源仍然可以通過符合計數產生量子成像現象。

2004年，意大利的路易吉·盧吉亞托小組提出了熱光源的量子成像理論方案。在這種方案中，來自熱光源的光束被分束器分為兩束，後續處理與纏結光源成像相同，小組通過類比纏結光源和熱光源的成像過程，推斷可以使用純粹的非相干光源（熱光源）實現量子成像。2005年，史硯華小組用氦氖激光器產生的激光入射旋轉毛玻璃盤產生的贗熱光源為光源，發現了非纏結光源的雙光子成像高斯薄透鏡方程式，實現了量子成像。同年，中科院物理所的吳令安小組實現了真熱光的雙光子二階關聯，不久後用20mA直流供電、諧振波長780nm的空心陰極燈（銣燈）實現了真熱光源量子成像。

儘管已經證明無論經典光源還是纏結光源都可以進行量子成像，但費里（F. Ferri）小組於2005年發表文章稱，成像的解像度具有一個上限，這個上限只有使用纏結光源可以達到。這證明，纏結光源相對經典光源量子成像，具有資訊可見性和解像度更高的優勢，這種優勢在高精度測量和量子通信領域都有應用。另一方面，熱光源更容易生成和測量，但成像的解像度會更低，背景雜訊更強。

2008年，美國麻省理工學院教授傑弗里·夏皮羅使用高斯態光模型理論對量子成像原理進行了統一的解釋。

無透鏡量子成像

2004年，韓申生和程靜提出可以通過適當選擇成像幾何形狀，用非相干光源實現無透鏡傅立葉變換成像。這為非可見光量子成像，如X射線繞射成像，提供了理論上的可行性。2006年，史硯華小組實現了無透鏡或其他等效成像系統的贗熱光源量子成像，這種方案適合任何波長的輻射作為光源，並且形成圖像的過程中不需要任何成像透鏡，因此這種方案對於X射線、伽瑪射線和其他波長光源的成像應用幫助很大。

計算量子成像

傳統量子成像與計算量子成像對比示意圖

夏皮羅也提出了計算量子成像的理論。與傳統量子成像不同，計算量子成像方案僅保留了包含待成像物體的測量光路和桶探測器，通過激光照射空間光調製器產生可調強度、相位等參數的空間調製光場（又稱為主動式光源），再根據繞射理論計算得到原參考光路在無透鏡量子成像中可以得到的特定位置的光強分佈，與測量光場進行符合關聯得到圖像。這種方案所用的裝置可以生成沒有背景雜訊的圖像，其解像度和成像區域可以通過調整空間光調製器的參數來控制。2009年，以色列科學家B. Sun等人在3D成像實驗中驗證了計算量子成像的可行性。

差分量子成像

2010年，意大利學者路易吉·盧賈托等提出差分量子成像（差分鬼成像，英語：Differential Ghost Imaging，DGI）的方案，該方案提高了量子成像信噪比的數量級，大幅提高了量子成像的成像質量，在一些強幹擾和背景雜訊較大的環境下表現較為良好，但需要大量的測量數據和更複雜的計算。2012年，羅開紅及其同事提出一種名為「對應成像」（英語：Correspondence Imaging，CI）的技術，可概述為選擇桶探測器在正向或負向的強度波動（正信號與負信號），對對應的參考光路所得的數據進行條件平均，而不是用桶探測器獲得的光強與參考光路所得數據直接相乘。2013年，中科院物理研究所吳令安小組提出時間對應差分量子成像，將差分量子成像和對應成像的優點結合起來，降低了數據處理難度，縮短了成像所需的計算時間。

原理

量子成像原理示意圖

量子成像兩路探測器輸出和最終所成物像示意圖

以下嘗試分析史硯華小組1995年所做的纏結光源量子成像實驗，簡述量子成像的原理。

自發參量下轉換過程之後，泵浦光子分裂成為一對信號光子-閒置光子，其能量滿足

$$\omega _{s}=\omega _{i}=\omega _{p}/2$$

其中$\omega _{s}$是信號光子的能量，$\omega _{i}$是閒置光子的能量，$\omega _{p}$是泵浦光子的能量，「$\cong$」代表近似等於。

雙光子的橫向位矢和動量EPR$\delta$函數表達式分別為

$$\delta ({\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{i}}})$$

和

$$\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})$$

其中，${\overrightarrow {\rho _{s}}}$和${\overrightarrow {\rho _{i}}}$分別是信號光子和閒置光子的位矢，${\overrightarrow {k_{s}}}$和${\overrightarrow {k_{i}}}$分別是信號光子和閒置光子的動量。

雖然光子可能從非線性晶體表面的任何一點出射，但$\delta ({\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{i}}})$表明，如果在某一空間位置找到信號-閒置光子對中的一個光子，則必在對應位置找到另一個光子，即光子對必從同一點出射。$\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})$定義了光子對的角度相關性：${\overrightarrow {k_{s}}}=-{\overrightarrow {k_{i}}}$，即雙光子必在相對出射點大致相等但相反的角度存在。

定義$G^{(2)}({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{i}}})$；${\overrightarrow {\rho _{o}}}$和${\overrightarrow {\rho _{i}}}$是物平面和像平面上點的橫向位矢。以下將證明，物平面和像平面之間存在一個$\delta$函數，即存在一種「點對點」的對應關係，若在物平面上${\overrightarrow {\rho _{o}}}$位置找到信號光子，則必在滿足$\delta ({\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{i}}}/m)$關係的位置找到閒置光子。$m=-{\frac {s_{i}}{s_{o}}}$，是像對物體的放大倍數，其中$s_{o}$是物平面與透鏡的光學距離，$s_{i}$是像平面與透鏡的光學距離。

確定$\delta$函數對應的相關性後，以下展示物函數$A({\overrightarrow {\rho _{o}}})$如何轉到$A({\overrightarrow {\rho _{i}}}/m)$。上圖中的一條「光線」實際上表示一對信號-閒置光子。$(r_{1},t_{1})$和$(r_{2},t_{2})$在物平面和像平面上的對應關係實際上是雙光子振幅疊加的結果。

建立格林函數$g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega _{s},{\overrightarrow {\rho _{o}}},z_{o})$和$g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega _{i},{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2})$。信號光路和閒置光路的測量方法非常不同，需要分開考慮。

信號光路

在信號光路，信號光在從源輸出到成像透鏡的$d_{1}$的距離上自由傳播，通過$s_{o}$距離的物光路，到達收集透鏡，再聚焦到$D_{1}$上，光學傳遞函數為：

$$g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega _{s};{\overrightarrow {\rho _{o}}},z_{o}=d_{1}+s_{o})=e^{i{\frac {\omega _{s}}{c}}z_{o}}\times \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}\int _{source}d{\overrightarrow {\rho _{s}}}\{{\frac {-i\omega _{s}}{2\pi cd_{1}}}e^{i{\overrightarrow {k_{s}}}\cdot {\overrightarrow {\rho _{s}}}}e^{i{\frac {\omega _{s}}{2cd_{1}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}\}\times e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}\{{\frac {-i\omega _{s}}{2\pi cs_{o}}}e^{i{\frac {\omega _{s}}{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}\}$$

${\overrightarrow {\rho _{s}}}$和${\overrightarrow {\rho _{l}}}$分別是光源輸出平面和成像透鏡平面上定義的橫向位矢。上式中，前後兩個大括號分別代表光子從輸出平面到成像透鏡平面，和成像透鏡平面到物平面的自由空間傳播過程。$e^{i{\frac {\omega _{s}}{2cd_{1}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}$和$e^{i{\frac {\omega _{s}}{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}$是菲涅爾相位。把成像透鏡視為薄透鏡，則其變換函數近似為一個高斯函數$l(\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ,f)\cong e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}$。

閒置光路

在閒置光路，閒置光從源輸出到成像透鏡，整個$d_{2}$距離上都是自由傳播的，光學傳遞函數為：

$$g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega _{i};{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2}=d_{2})={\frac {-i\omega _{i}}{2\pi cd_{2}}}e^{i{\frac {\omega _{i}}{c}}d_{2}}\int _{source}d{\overrightarrow {\rho '_{s}}}e^{i{\frac {\omega _{i}}{2cd_{2}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho '_{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{2}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\overrightarrow {k_{i}}}\cdot {\overrightarrow {\rho '_{s}}}}$$

${\overrightarrow {\rho '_{s}}}$和${\overrightarrow {\rho _{2}}}$分別是源平面和$\delta$光電探測器平面上的橫向位矢。

全光路（物平面-像平面）

為簡化計算，假設$\omega _{s}=\omega _{i}=\omega$，SPDC雙光子共線，忽略所有比例常數（因此將$=$替換為$\propto$），將$g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega _{s},{\overrightarrow {\rho _{o}}},z_{o})$和$g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega _{i},{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2})$代入像平面有效波函數（英語：effective wave function）

$$\Psi ({\overrightarrow {\rho _{1}}},z_{1},t_{1};{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2},t_{2})=\Psi _{o}\int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})\int d{\omega _{s}}d{\omega _{i}}\delta ({\omega _{s}}+{\omega _{i}}-{\omega _{p}})\times g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega _{s};{\overrightarrow {\rho _{1}}},z_{1})e^{-i\omega _{s}t_{1}}g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega _{i};{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2})e^{-i\omega _{i}t_{2}}$$

可求出雙光子有效波函數表達式

$$\Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{2}}})\propto \int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega ;{\overrightarrow {\rho _{o}}},z_{o})g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega ;{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2})\propto e^{i{\frac {\omega }{c}}(s_{o}+s_{i})}\int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})\times \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}\int _{source}d{\overrightarrow {\rho _{s}}}e^{i{\overrightarrow {k_{s}}}\cdot {\overrightarrow {\rho _{s}}}}e^{{\frac {\omega }{2cd_{1}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}\times e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\frac {\omega _{s}}{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}\times \int _{source}d\rho '_{s}e^{i{\overrightarrow {k_{i}}}\cdot {\overrightarrow {\rho '_{s}}}}e^{i{\frac {\omega _{i}}{2cd_{2}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho '_{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{2}}}\right\vert ^{2}}$$

完成二重積分

$$\int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})e^{i{\overrightarrow {k_{s}}}\cdot {\overrightarrow {\rho _{s}}}}e^{i{\overrightarrow {k_{i}}}\cdot {\overrightarrow {\rho '_{s}}}}\backsim \delta ({\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho '_{s}}})$$

後，雙光子有效波函數表達式變形為

$$\Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{2}}})\propto e^{i{\frac {\omega }{c}}(s_{o}+s_{i})}\times \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}\int _{source}d{\overrightarrow {\rho _{s}}}e^{i{\frac {\omega }{2cd_{2}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{2}}}-{\overrightarrow {\rho _{s}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\frac {\omega }{2cd_{1}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}\times e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\frac {\omega }{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}$$

完成對$d{\overrightarrow {\rho _{s}}}$的積分後，可變形為

$$\Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{2}}})\propto e^{i{\frac {\omega }{c}}(s_{o}+s_{i})}\times \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}e^{i{\frac {\omega }{2cs_{i}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{2}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\frac {\omega }{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}$$

用$s_{i}$代替$d_{1}+d_{2}$，$d{\overrightarrow {\rho _{l}}}$上的積分在物平面和像平面之間產生的點對點對應關係，由高斯薄透鏡方程式定義：

$$\int _{lens}{\overrightarrow {\rho _{l}}}e^{i{\frac {\omega }{2c}}[{\frac {1}{s_{o}}}+{\frac {1}{s_{i}}}-{\frac {1}{f}}]\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{-i{\frac {\omega }{c}}({\frac {\overrightarrow {\rho _{o}}}{s_{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{s_{i}}})\cdot {\overrightarrow {\rho _{l}}}}\sim \delta ({\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})$$

用${\overrightarrow {\rho _{2}}}$等效代替${\overrightarrow {\rho _{i}}}$，則上式中的積分值趨向無窮大，應用高斯薄透鏡方程式

$${\frac {1}{s_{i}}}+{\frac {1}{s_{o}}}={\frac {1}{f}}$$

將$m={\frac {s_{i}}{s_{o}}}$定義為成像系統放大倍數，$\delta ({\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})$表示物平面上的每一個${\overrightarrow {\rho _{o}}}$與像平面上的每一個${\overrightarrow {\rho _{i}}}$唯一對應，兩向量方向相反，大小比為$m={\frac {\left\vert {\overrightarrow {\rho _{i}}}\right\vert }{\left\vert {\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert }}$。

考慮到成像透鏡尺寸有限（設半徑為R），則積分會產生點擴散函數$somb(x)$：

$$\int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}e^{-i{\frac {\omega }{c}}({\frac {\overrightarrow {\rho _{o}}}{s_{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{s_{i}}})\cdot {\overrightarrow {\rho _{l}}}}\propto somb({\frac {R}{s_{o}}}{\frac {\omega }{c}}[{\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}}])$$

其中$somb(x)=2J_{1}(x)$，$J_{1}(x)$是一階貝索函數，將物-像平面的點對點關係轉化為點對像素關係，限制了成像的空間解像度。在代入高斯薄透鏡方程式後，橫向雙光子有效波函數近似為一個$\delta$函數：

$$\Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{i}}})\sim \delta ({\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})$$

這表現了物-像平面之間的點對點相關性，即若在物平面${\overrightarrow {\rho _{o}}}$位置找到信號光子，則必然在像平面${\overrightarrow {\rho _{i}}}$位置找到閒置光子，${\overrightarrow {\rho _{o}}}$和${\overrightarrow {\rho _{i}}}$滿足${\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}}=0$，$m={\frac {s_{i}}{s_{o}}}$。

在信號光路的光學傳遞函數中再加入作為物體的光圈、收集透鏡和光子計數檢測器，其中後兩者整體可視為一個桶探測器。桶探測器對通過物體（光圈）$A({\overrightarrow {\rho _{o}}})$，觸發光電聯合檢測的光子進行積分：

$$R_{1,2}\propto \int _{object}d{\overrightarrow {\rho _{o}}}\left\vert A({\overrightarrow {\rho _{o}}})\right\vert ^{2}\left\vert \Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},\Psi ({\overrightarrow {\rho _{i}}})\right\vert ^{2}\cong \left\vert A({\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})\right\vert ^{2}$$

同時，閒置光路中的探測器$D_{2}$再次掃描像平面，${\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{2}}}}={\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{i}}}}$。

綜上所述，位置EPR相關性是雙光子振幅相干疊加的結果：

$$G^{(2)}({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{i}}})=\left\vert \int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})g({\overrightarrow {k_{s}}},{\overrightarrow {\rho _{o}}})g({\overrightarrow {k_{i}}},{\overrightarrow {\rho _{2}}})\right\vert ^{2}$$

原則上，一對信號-閒置光子對包含用於在物平面和像平面間產生點對點對應關係的雙光子振幅，因此量子成像又稱為「雙光子關聯成像」。

相關領域與應用

光刻技術

2000年，博托（英語：A. N. Boto）小組提出了N光子吸收光刻技術，這種技術使用纏結光子流取代經典光的非相干性光子流，降低光刻技術中的最小可分辨特徵尺寸。高度纏結的光子可以使得光刻技術的最小可分辨特徵尺寸突破瑞立繞射極限規定的最小值$\lambda /2$，達到$\lambda /2N$（N是一個泵浦光子分裂成為的一組纏結光子的數量，這些光子最後都會被光刻膠吸收）。其原理可以簡述為：在經典光中，N個光子到達某一特定空間區域的機率是單個光子到達該範圍的N次方，但纏結光中只要確定其中一個光子到達的區域，其他N-1個光子會到達的區域是確定的，如果光學系統對的足夠准，則N個纏結光子到達某一特定區域的機率就只需要計算一次，這使得N光子光刻不需要光焦度達到不切實際的程度，僅使用與經典器件相同的功率級別，即可使光刻最小可分辨特徵尺寸降低N倍。

激光雷達技術

傳統激光雷達分為兩種類型：掃描成像激光雷達和非掃描成像激光雷達。掃描成像激光雷達通過用脈衝激光逐點掃描目標區域來獲得目標的真實空間圖像，這種雷達難以對高速運動物體進行成像；非掃描成像激光雷達用脈衝閃光激光源和高解像度成像系統進行成像，一次曝光即可獲得目標的真實空間圖像，但目標反射的光強是由CCD相機許多小像素接收到的，因此檢測靈敏度較低，其檢測距離受到成像系統光路和整個成像平面的信噪比的影響。相較之下，量子成像激光雷達具有遙感距離長、成像速度快和成像解像度高等優點。

2009年，以色列科學家亞倫·希爾伯格（英語：Yaron Silberberg）等進行了計算量子成像的驗證實驗，提出了用於贗熱量子成像的圖像重建高級算法，並提出計算量子成像可以用於激光雷達。2011年，美國麻省理工學院學者提出計算量子成像用於遙感成像的方案，並分析了這種方案的性能。2012年，上海光機所韓申生團隊實現了基於稀疏約束的關聯成像雷達，並在約1km的距離上進行了高解像度成像。2013年，韓申生團隊實現了3D量子成像激光雷達。2015年，韓申生小組提出了結構化圖像重構方法，這種方法可以更準確地恢復具有各種稀疏比率的場景切片，並且具有明顯的增強解像度的效果，這適用於測量次數較少的量子成像過程，大幅提高了三維量子成像激光雷達的成像質量。2016年，清華大學戴瓊海小組提出了內容自適應計算量子成像方法，用以在測量次數較少的情況下重建較高質量的圖像，從而完成對動態目標的成像。

參見

• 量子力學
• 量子力學入門
• 量子光學